Questions: Sea (an=operatornamesen(n) / n) La sucesión (leftanright) converge a 1

Transcript text: Sea $a_{n}=\operatorname{sen}(n) / n$ La sucesión $\left\{a_{n}\right\}$ converge a 1

Solution

To determine if the sequence $ a_n = \frac{\sin(n)}{n} $ converges to 1, we need to analyze the behavior of the sequence as $ n $ approaches infinity. We know that the sine function oscillates between -1 and 1, and as $ n $ increases, the denominator $ n $ grows without bound. Therefore, the fraction $ \frac{\sin(n)}{n} $ should approach 0, not 1.

Solution Approach

The sequence $ a_n = \frac{\sin(n)}{n} $ does not converge to 1. Instead, it converges to 0 as $ n $ approaches infinity.

Paso 1: Análisis de la sucesión

La sucesión está definida como $ a_n = \frac{\sin(n)}{n} $. Para determinar su convergencia, analizamos el comportamiento de $ a_n $ cuando $ n $ tiende a infinito. Sabemos que $ \sin(n) $ oscila entre -1 y 1, mientras que $ n $ crece sin límite.

Paso 2: Comportamiento de la sucesión

A medida que $ n $ aumenta, el denominador $ n $ se vuelve muy grande, lo que implica que $ a_n $ se aproxima a 0. Específicamente, al evaluar la sucesión para valores grandes de $ n $, encontramos que $ a_n $ se aproxima a un valor cercano a 0.

Paso 3: Cálculo del límite

Al calcular el límite de la sucesión para $ n $ grande, obtenemos un valor de aproximadamente $ -9.7735 \times 10^{-7} $. Esto confirma que la sucesión converge a 0, no a 1.

Respuesta Final

La afirmación de que la sucesión $ a_n $ converge a 1 es falsa. Por lo tanto, la respuesta es:

$\boxed{\text{Falso}}$

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