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Partie I Pour tout entier naturel non nul n, on considère la fonction fₙ définie sur I = [0, +∞[ par : fₙ(0) = 0 et (∀ x ∈ ]0, +∞[) ; fₙ(x) = √x(ln x)ⁿ et soit (Cₙ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i, j) 1-a) Vérifier que : (∀ x ∈ ]0, +∞[) ; √x(ln x)ⁿ = (2n)ⁿ(x^(1 / 2n) ln(x^(1 / 2n)))ⁿ, en déduire que fₙ est continue à droite en 0 b) Calculer lim x → +∞ fₙ(x) c) Vérifier que : (∀ x ∈ ]0, +∞[) ; fₙ(x) / x = (2n)ⁿ(ln(x^(1 / 2n)) / x^(1 / 2n))ⁿ, en déduire lim x → +∞ (fₙ(x) / x) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu d) Calculer, suivant la parité de n, lim x → 0⁺ (fₙ(x) / x) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu 2-a) Montrer que fₙ est dérivable sur ]0, +∞[ et que : (∀ x ∈ ]0, +∞[) ; fₙ'(x) = 1 / (2√x)(ln x)ⁿ⁻¹(2n + ln x) b) Vérifier que : ∀ n ≥ 2, fₙ'(x) = 0 si et seulement si (x = 1 ou x = e⁻²ⁿ) c) Étudier, suivant la parité de n, le sens de variation de fₙ et donner son tableau de variations d) Montrer que si n est impair et n ≥ 3 alors le point d'abscisse 1 est un point d'inflexion de (Cₙ) Partie II : 1- Soit β ∈ ]1, e[ un réel fixé. On considère la suite numérique (uₙ)ₙ ≥ 1 définie par : (∀ n ∈ ℕ*) ; uₙ = fₙ(β) a) Montrer que : (∀ n ∈ ℕ*) ; 0 < uₙ < √e b) Montrer que la suite (uₙ)ₙ ≥ 1 est décroissante c) Déterminer lim n → +∞ uₙ 2-a) Montrer que pour tout entier n non nul, il existe un unique réel xₙ ∈ ]1, e[ tel que : f(xₙ) = 1
1.1 - A partir de la definición 1 in = 2.54 cm, determine a) cuántos kilómetros hay en 1.00 milla y b) cuántos pies hay en 1.00 km. 1.2 • Según la etiqueta de un frasco de aderezo para ensalada, el volumen del contenido es 0.473 litros (L). Use solo las conversiones 1 L = 1000 cm³ y 1 in = 2.54 cm para expresar dicho volumen en pulgadas cúbicas. 1.3 • ¿Cuántos nanosegundos tarda la luz en viajar 1.00 ft en el vacío? (Este resultado es una cantidad útil de recordar). 1.4 • La densidad del oro es de 19.3 g/cm³. ¿Cuál es su equivalencia en kilogramos por metro cúbico? 1.5 - El motor más potente que había para el automóvil clásico Chevrolet Corvette Sting Ray modelo 1963 desarrollaba 360 caballos de fuerza y tenía un desplazamiento de 327 pulgadas cúbicas. Exprese este desplazamiento en litros (L) usando solo las conversiones 1 L = 1000 cm³ y 1 in = 2.54 cm. 1.6 - Un campo cuadrado que mide 100.0 m por 100.0 m tiene un área de 1.00 hectárea. Un acre tiene un área de 43,600 ft². Si un campo tiene un área de 12.0 acres, ¿cuál es su equivalencia en hectáreas? 1.7 - ¿Cuántos años más tendrá usted dentro de 1.00 mil millones de segundos? (Suponga que un año tiene 365 días). 1.8 - Mientras va conduciendo en un país extranjero, observa un letrero que indica el límite de velocidad en una carretera como 180,000 estadios (furlongs) por quincena. ¿Cuánto es esto en millas por hora? (Un furlong es 1/8 de milla, y una quincena equivale a 14 días. Originalmente, el estadio se refería a la longitud de un surco arado). 1.9 - Cierto automóvil híbrido que consume poco combustible tiene un rendimiento de gasolina de 55.0 mpg (millas por galón). a) Si usted va manejando dicho auto en Europa y quiere comparar su rendimiento con el de otros autos europeos, exprese tal rendimiento en km/L (L = litro). Utilice los factores de conversión del apéndice E. b) Si el depósito de gasolina de este automóvil tiene una capacidad de 45 L, ¿cuántas veces deberá llenar el depósito de gasolina para conducir 1500 km? 1.10 - Las conversiones que siguen son comunes en física, además de muy útiles. a) Use 1 mi = 5280 ft y 1 h = 3600 s para convertir 60 mph a unidades de ft/s. b) La aceleración de un objeto en caída libre es de 32 ft/s². Use 1 ft = 30.48 cm para expresar esta aceleración en unidades de m/s². c) La densidad del agua es de 1.0 g/cm³. Convierta esta densidad a unidades de kg/m³. 1.11 - Neptunio. En el otoño de 2002, un grupo de científicos de Los Alamos National Laboratory determinó que la masa crítica del neptunio 237 es de unos 60 kg. La masa crítica de un material fisionable es la cantidad mínima que debe reunirse para iniciar una reacción en cadena. Este elemento tiene una densidad de 19.5 g/cm³. ¿Cuál será el radio de una esfera de este material que tiene dicha masa crítica? 1.12 - BIO a) La dosis diaria recomendada (RDA, por las siglas de recommended daily allowance) del metal traza magnesio es de 410 mg/día para los hombres. Exprese esta cantidad en μg/día. b) La RDA del aminoácido lisina es de 12 mg por kg de peso corporal. ¿Cuántos gramos diarios debe recibir un adulto de 75 kg de peso? c) Una tableta multivitamínica típica contiene 2.0 mg de vitamina B₂ (riboflavina) y la RDA recomendada es de 0.0030 g/día. ¿Cuántas de estas tabletas debe tomar a diario una persona para obtener la cantidad adecuada de esta vitamina, suponiendo que no tiene ninguna otra fuente de abasto? d) La RDA para el elemento traza selenio es de 0.000070 g/día. Exprese esta dosis en mg/día.
En la industria química, la producción de ácido nítrico (HNO3) se realiza mediante el proceso Ostwald, que consta de tres etapas principales. Las reacciones involucradas son: 1. NH3(g) + O2(g) → NO(g) + H2O(g) 2. NO(g) + O2(g) → NO2(g) 3. NO2(g) + H2O(g) → HNO3(g) + NO(g) En una planta química, se introducen 200,0 kg de amoníaco (NH3) y 500,0 kg de oxígeno (O2) en un reactor hermético. Los pasos 1 y 2 tienen un rendimiento conjunto del 45%. Al final del proceso, se recolectan 50,0 kg de HNO3. 1. Balancear las ecuaciones químicas de cada etapa del proceso. (10 puntos) Describa el método utilizado (Tanteo). 2. Determinación del reactivo limitante y en exceso para las reacciones 1 y 2 (15 puntos). Incluya todos los cálculos estequiométricos necesarios (en moles y kg). Justifique su respuesta. Entregue el resultado con 3 cifras significativas. 3. Calcular el rendimiento teórico ajustado por el 45% de eficiencia en los pasos 1 y 2 (20 puntos). Determine la cantidad máxima de HNO3 que se podría obtener con ese rendimiento. Explique cada paso. Entregue el resultado con 3 cifras significativas. 4. Calcule el rendimiento real de la reacción en porcentaje, comparando lo obtenido con el rendimiento teórico. (10 puntos). Use la fórmula del rendimiento porcentual. 5. Análisis del reciclaje del NO producido en la etapa 3. (10 puntos). Explique cómo influye el reciclaje del NO en la eficiencia general del proceso y cómo se puede optimizar el rendimiento global. 6. Considerando que el precio de mercado del HNO3 es de 450 USD/tonelada, calcule el ingreso económico bruto generado con los 50,0 kg obtenidos. (10 puntos). Entregue el resultado con 3 cifras significativas. Exprese el resultado en USD y comente brevemente sobre la viabilidad económica del proceso si se escala industrialmente. 7. Proponga al menos dos medidas que podrían mejorar el rendimiento global del proceso. (10 puntos). Fundamente sus propuestas desde el punto de vista químico e industrial. (Dé referencias). 8. Suponga que se decide aumentar la temperatura del reactor para mejorar la conversión. ¿Qué consecuencias termodinámicas puede tener esto sobre la reacción 1? (15 puntos). Considere si la reacción es exotérmica o endotérmica, y cómo esto afecta el equilibrio.
1. A single vibratory disturbance that moves from point to point in a medium is called (1) a node (2) a periodic wave (3) an antinode (4) a pulse 2. What generally occurs when a pulse reaches a boundary between two different media? (1) All of the pulse is reflected. (2) All of the pulse is absorbed. (3) All of the pulse is transmitted. (4) Part of the pulse is reflected, part is absorbed, and part is transmitted. 3. A tuning fork vibrating in air produces sound waves. These waves are best classified as (1) transverse, because the air molecules are vibrating parallel to the direction of wave motion (2) transverse, because the air molecules are vibrating perpendicular to the direction of wave motion (3) longitudinal, because the air molecules are vibrating parallel to the direction of wave motion (4) longitudinal, because the air molecules are vibrating perpendicular to the direction of wave motion 4. When a transverse wave moves through a medium, what is the action of the particles of the medium? (1) They travel through the medium with the wave. (2) They vibrate in a direction parallel to the direction in which the wave is moving. (3) They vibrate in a direction perpendicular to the direction in which the wave is moving. (4) They remain at rest. 5. Compression waves in a spring are an example of (1) longitudinal waves (2) transverse waves (3) elliptical waves (4) torsional waves 6. Wave motion in a medium transfers (1) energy only (2) mass only (3) both energy and mass (4) neither energy nor mass 7. Periodic waves are produced by a wave generator at the rate of one wave every 0.50 second. What is the period of the wave? 8. Which phrase best describes a periodic wave? (1) a single pulse traveling at constant speed (2) a single pulse traveling at varying speed in the same medium (3) a series of pulses at irregular intervals (4) a series of pulses at regular intervals 9. In the diagram below, the solid line represents a wave generated in a rope. As the wave moves to the right, point P on the rope is moving towards which position? (1) A (2) B (3) C (4) D 10. In the diagram below, a transverse wave is moving to the right on a rope. In which direction will segment x move as the wave passes through it? (1) down, only (2) up, only (3) down, then up, then down (4) up, then down, then up 11. Which wave characteristic is defined as the number of cycles of a periodic wave occurring per unit time? 12. If the frequency of a sound wave is 440 cycles per second, the period of the wave is (1) 2.27 × 10^-3 s (2) 0.752 s (3) 1.33 s (4) 3.31 × 10^2 s 13. If the frequency of a sound wave is doubled, the period of the sound wave is (1) halved (2) doubled (3) unchanged (4) quadrupled