Analizar la función $f(x)=kx$ para diferentes valores de $k$: $k=0,1,2,\frac{1}{2},-1,-2$
Análisis de la función lineal
La función $f(x)=kx$ es una función lineal donde $k$ representa la pendiente de la recta. Vamos a analizar el comportamiento de esta función para cada uno de los valores dados de $k$.
Caso $k=0$
Cuando $k=0$, tenemos $f(x)=0 \cdot x = 0$
Esta es una función constante que representa una línea horizontal que pasa por el origen. Para cualquier valor de $x$, $f(x)=0$.
Caso $k=1$
Cuando $k=1$, tenemos $f(x)=1 \cdot x = x$
Esta es la función identidad. La gráfica es una línea recta que pasa por el origen con pendiente 1, formando un ángulo de 45° con el eje $x$.
Caso $k=2$
Cuando $k=2$, tenemos $f(x)=2 \cdot x$
Esta es una función lineal con pendiente positiva 2. La gráfica es una línea recta que pasa por el origen y crece más rápidamente que la función identidad.
Caso $k=\frac{1}{2}$
Cuando $k=\frac{1}{2}$, tenemos $f(x)=\frac{1}{2} \cdot x$
Esta es una función lineal con pendiente positiva $\frac{1}{2}$. La gráfica es una línea recta que pasa por el origen y crece más lentamente que la función identidad.
Caso $k=-1$
Cuando $k=-1$, tenemos $f(x)=-1 \cdot x = -x$
Esta es una función lineal con pendiente negativa -1. La gráfica es una línea recta que pasa por el origen y decrece con la misma rapidez que la función identidad crece.
Caso $k=-2$
Cuando $k=-2$, tenemos $f(x)=-2 \cdot x$
Esta es una función lineal con pendiente negativa -2. La gráfica es una línea recta que pasa por el origen y decrece más rápidamente que cuando $k=-1$.
Resumen de características
Para todos los casos, la función $f(x)=kx$ pasa por el origen (0,0). El valor de $k$ determina:
- La pendiente de la recta
- Si la función es creciente ($k>0$), decreciente ($k<0$) o constante ($k=0$)
- La rapidez con la que crece o decrece la función (valor absoluto de $k$)
\(\boxed{
\begin{array}{l}
k=0: f(x)=0 \text{ (función constante)} \\
k=1: f(x)=x \text{ (función identidad)} \\
k=2: f(x)=2x \text{ (función lineal creciente)} \\
k=\frac{1}{2}: f(x)=\frac{1}{2}x \text{ (función lineal creciente)} \\
k=-1: f(x)=-x \text{ (función lineal decreciente)} \\
k=-2: f(x)=-2x \text{ (función lineal decreciente)}
\end{array}
}\)
\(\boxed{
\begin{array}{l}
k=0: f(x)=0 \text{ (función constante)} \\
k=1: f(x)=x \text{ (función identidad)} \\
k=2: f(x)=2x \text{ (función lineal creciente)} \\
k=\frac{1}{2}: f(x)=\frac{1}{2}x \text{ (función lineal creciente)} \\
k=-1: f(x)=-x \text{ (función lineal decreciente)} \\
k=-2: f(x)=-2x \text{ (función lineal decreciente)}
\end{array}
}\)
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