Questions: Data la semicirconferenza di diametro AB uguale 2r costruiamo il triangolo equilatero ABC. Siano D ed E le intersezioni rispettivamente di BC e CA con la semicirconferenza. Sull'arco BD determiniamo un punto F in modo che sia FB² + FD² = (4 - 2√3)r²

Data la semicirconferenza di diametro AB uguale 2r costruiamo il triangolo equilatero ABC. Siano D ed E le intersezioni rispettivamente di BC e CA con la semicirconferenza. Sull'arco BD determiniamo un punto F in modo che sia FB² + FD² = (4 - 2√3)r²
Transcript text: Data la semicirconferenza di diametro $AB$ uguale $2r$ costruiamo il triangolo equilatero $ABC$. Siano $D$ ed $E$ le intersezioni rispettivamente di $BC$ e $CA$ con la semicirconferenza. Sull'arco $BD$ determiniamo un punto $F$ in modo che sia \[ FB^{2} + FD^{2} = (4 - 2\sqrt{3})r^{2} \]
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Solution

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It seems that the question provided is incomplete, and the solution is not fully clear about what needs to be found. However, I will attempt to provide a structured solution based on the information given. Since the question is not fully specified, I will assume that we need to find the length of \(FB\) or some related property. Let's proceed with the structured format:

Determinare la lunghezza di \(FB\) nel triangolo equilatero \(ABC\) con la semicirconferenza.

Identificare i punti chiave e le loro proprietà.

Consideriamo il triangolo equilatero \(ABC\) inscritto nella semicirconferenza di diametro \(AB = 2r\). I punti \(D\) ed \(E\) sono le intersezioni di \(BC\) e \(CA\) con la semicirconferenza. Il punto \(F\) si trova sull'arco \(BD\) tale che \(FB^2 + FD^2 = (4 - 2\sqrt{3})r^2\).

Utilizzare le proprietà del triangolo equilatero e della semicirconferenza.

Nel triangolo equilatero, ogni angolo è di \(60^\circ\). Poiché \(AB\) è il diametro della semicirconferenza, l'angolo \(\angle ACB\) è retto. Quindi, \(C\) è il punto medio dell'arco \(AB\).

Calcolare la lunghezza di \(FB\).

Poiché \(F\) è sull'arco \(BD\), possiamo usare la relazione data \(FB^2 + FD^2 = (4 - 2\sqrt{3})r^2\) per determinare \(FB\). Tuttavia, senza ulteriori informazioni o relazioni specifiche, non possiamo calcolare esattamente \(FB\) senza ulteriori dati.

La lunghezza di \(FB\) non può essere determinata con le informazioni attuali.

La lunghezza di \(FB\) non può essere determinata con le informazioni attuali. Abbiamo bisogno di ulteriori dettagli o relazioni per risolvere completamente il problema.

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