Questions: Partie I Pour tout entier naturel non nul n, on considère la fonction fₙ définie sur I = [0, +∞[ par : fₙ(0) = 0 et (∀ x ∈ ]0, +∞[) ; fₙ(x) = √x(ln x)ⁿ et soit (Cₙ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i, j) 1-a) Vérifier que : (∀ x ∈ ]0, +∞[) ; √x(ln x)ⁿ = (2n)ⁿ(x^(1 / 2n) ln(x^(1 / 2n)))ⁿ, en déduire que fₙ est continue à droite en 0 b) Calculer lim x → +∞ fₙ(x) c) Vérifier que : (∀ x ∈ ]0, +∞[) ; fₙ(x) / x = (2n)ⁿ(ln(x^(1 / 2n)) / x^(1 / 2n))ⁿ, en déduire lim x → +∞ (fₙ(x) / x) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu d) Calculer, suivant la parité de n, lim x → 0⁺ (fₙ(x) / x) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu 2-a) Montrer que fₙ est dérivable sur ]0, +∞[ et que : (∀ x ∈ ]0, +∞[) ; fₙ'(x) = 1 / (2√x)(ln x)ⁿ⁻¹(2n + ln x) b) Vérifier que : ∀ n ≥ 2, fₙ'(x) = 0 si et seulement si (x = 1 ou x = e⁻²ⁿ) c) Étudier, suivant la parité de n, le sens de variation de fₙ et donner son tableau de variations d) Montrer que si n est impair et n ≥ 3 alors le point d'abscisse 1 est un point d'inflexion de (Cₙ) Partie II : 1- Soit β ∈ ]1, e[ un réel fixé. On considère la suite numérique (uₙ)ₙ ≥ 1 définie par : (∀ n ∈ ℕ*) ; uₙ = fₙ(β) a) Montrer que : (∀ n ∈ ℕ*) ; 0 < uₙ < √e b) Montrer que la suite (uₙ)ₙ ≥ 1 est décroissante c) Déterminer lim n → +∞ uₙ 2-a) Montrer que pour tout entier n non nul, il existe un unique réel xₙ ∈ ]1, e[ tel que : f(xₙ) = 1

△ Vérifier que \( f_n \) est continue à droite en 0. ○ Vérification de l'égalité donnée ☼ L'égalité \(\sqrt{x}(\ln x)^n = (2n)^n \left(x^{\frac{1}{2n}} \ln(x^{\frac{1}{2n}})\right)^n\) est vérifiée en posant \( y = x^{\frac{1}{2n}} \). Ainsi, \( f_n \) est continue à droite en 0 car \(\lim_{x \to 0^+} f_n(x) = 0\). ✧ \( f_n \) est continue à droite en 0. △ Calculer \(\lim_{x \to +\infty} f_n(x)\). ○ Calcul de la limite à l'infini ☼ \(\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty\) car \(\ln x\) croît moins vite que toute puissance positive de \(x\). ✧ \(\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty\). △ Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f_n(x)}{x}\) et interpréter graphiquement. ○ Vérification de l'égalité et calcul de la limite ☼ L'égalité \(\frac{f_n(x)}{x} = \frac{(\ln x)^n}{\sqrt{x}}\) est vérifiée. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f_n(x)}{x} = 0\), indiquant que la courbe \(C_n\) est asymptote à l'axe des abscisses à l'infini. ✧ \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f_n(x)}{x} = 0\). △ Calculer \(\lim_{x \to 0^+} \frac{f_n(x)}{x}\) selon la parité de \(n\). ○ Calcul de la limite à 0 ☼ Si \(n\) est pair, \(\lim_{x \to 0^+} \frac{f_n(x)}{x} = -\infty\). Si \(n\) est impair, \(\lim_{x \to 0^+} \frac{f_n(x)}{x} = +\infty\). ✧ \(\lim_{x \to 0^+} \frac{f_n(x)}{x} = -\infty\) si \(n\) est pair, \(+\infty\) si \(n\) est impair. △ Montrer que \( f_n \) est dérivable et calculer \( f_n'(x) \). ○ Calcul de la dérivée ☼ \( f_n'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln x)^{n-1}(2n + \ln x) \) est dérivable sur \(]0, +\infty[\). ✧ \( f_n'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln x)^{n-1}(2n + \ln x) \). △ Vérifier les points critiques de \( f_n'(x) \). ○ Identification des points critiques ☼ Pour \( n \geq 2 \), \( f_n'(x) = 0 \) si et seulement si \( x = 1 \) ou \( x = e^{-2n} \). ✧ \( f_n'(x) = 0 \) pour \( x = 1 \) ou \( x = e^{-2n} \). △ Étudier le sens de variation de \( f_n \) selon la parité de \( n \). ○ Analyse du sens de variation ☼ Pour \( n \) pair, \( f_n \) est décroissante sur \(]0, e^{-2n}[\) et \(]e^{-2n}, 1[\), croissante sur \(]1, +\infty[\). Pour \( n \) impair, \( f_n \) est croissante sur \(]0, e^{-2n}[\), décroissante sur \(]e^{-2n}, 1[\), croissante sur \(]1, +\infty[\). ✧ Sens de variation déterminé selon la parité de \( n \). △ Montrer que le point d'abscisse 1 est un point d'inflexion pour \( n \) impair et \( n \geq 3 \). ○ Vérification du point d'inflexion ☼ Pour \( n \) impair et \( n \geq 3 \), \( f_n''(1) = 0 \) et \( f_n'' \) change de signe en \( x = 1 \), confirmant un point d'inflexion. ✧ Le point d'abscisse 1 est un point d'inflexion pour \( n \) impair et \( n \geq 3 \). △ Montrer que \( 0 < u_n < \sqrt{e} \). ○ Vérification des bornes de \( u_n \) ☼ Pour \( \beta \in ]1, e[\), \( 0 < u_n = \sqrt{\beta}(\ln \beta)^n < \sqrt{e} \). ✧ \( 0 < u_n < \sqrt{e} \). △ Montrer que la suite \( (u_n) \) est décroissante. ○ Analyse de la décroissance ☼ \( u_{n+1} = u_n \cdot \ln \beta < u_n \) car \( 0 < \ln \beta < 1 \). La suite est décroissante. ✧ La suite \( (u_n) \) est décroissante. △ Déterminer \(\lim_{n \to +\infty} u_n\). ○ Calcul de la limite de la suite ☼ \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\) car \((\ln \beta)^n \to 0\). ✧ \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\). △ Montrer l'existence et l'unicité de \( x_n \) tel que \( f_n(x_n) = 1 \). ○ Application du théorème des valeurs intermédiaires ☼ Il existe un unique \( x_n \in ]1, e[ \) tel que \( f_n(x_n) = 1 \) par stricte croissance de \( f_n \) sur \( ]1, +\infty[ \). ✧ Un unique \( x_n \in ]1, e[ \) tel que \( f_n(x_n) = 1 \). ☺ Résumé des résultats clés :

Partie I : 1-a) $f_n$ est continue à droite en 0 1-b) $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$ 1-c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f_n(x)}{x} = 0$ 1-d) $\lim_{x \to 0^+} \frac{f_n(x)}{x} = -\infty$ si $n$ est pair, $+\infty$ si $n$ est impair 2-a) $f_n'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln x)^{n-1}(2n + \ln x)$ 2-b