Cálculo del campo eléctrico entre las placas.
Identificación de datos
- Diferencia de potencial: $V = 20 \text{ V}$
- Separación entre placas: $d = 1.8 \text{ mm} = 1.8 \times 10^{-3} \text{ m}$
Aplicación de la fórmula del campo eléctrico uniforme
El campo eléctrico uniforme entre placas paralelas se relaciona con la diferencia de potencial mediante:
\begin{align}
E = \frac{V}{d}
\end{align}
Sustituyendo los valores:
\begin{align}
E = \frac{20 \text{ V}}{1.8 \times 10^{-3} \text{ m}} = 11,111.11 \text{ V/m}
\end{align}
Resultado del campo eléctrico
\begin{align}
\boxed{E = 1.11 \times 10^4 \text{ V/m}}
\end{align}
Cálculo de la densidad de carga superficial.
Relación entre campo eléctrico y densidad de carga
Para un capacitor de placas paralelas, la densidad de carga superficial $\sigma$ se relaciona con el campo eléctrico mediante:
\begin{align}
\sigma = \varepsilon_0 E
\end{align}
Donde $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ F/m}$ es la permitividad del vacío.
Cálculo de la densidad de carga
Sustituyendo el valor del campo eléctrico calculado anteriormente:
\begin{align}
\sigma &= \varepsilon_0 E\\
&= (8.85 \times 10^{-12} \text{ F/m})(1.11 \times 10^4 \text{ V/m})\\
&= 9.83 \times 10^{-8} \text{ C/m}^2
\end{align}
Resultado de la densidad de carga superficial
\begin{align}
\boxed{\sigma = 9.83 \times 10^{-8} \text{ C/m}^2}
\end{align}
Cálculo de la capacitancia.
Identificación de datos adicionales
- Área de cada placa: $A = 7.6 \text{ cm}^2 = 7.6 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
- Separación entre placas: $d = 1.8 \times 10^{-3} \text{ m}$
- Permitividad del vacío: $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ F/m}$
Aplicación de la fórmula de capacitancia para placas paralelas
La capacitancia de un capacitor de placas paralelas en el vacío está dada por:
\begin{align}
C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}
\end{align}
Sustituyendo los valores:
\begin{align}
C &= \frac{(8.85 \times 10^{-12} \text{ F/m})(7.6 \times 10^{-4} \text{ m}^2)}{1.8 \times 10^{-3} \text{ m}}\\
&= \frac{6.73 \times 10^{-15} \text{ F·m}}{1.8 \times 10^{-3} \text{ m}}\\
&= 3.74 \times 10^{-12} \text{ F}
\end{align}
Resultado de la capacitancia
\begin{align}
\boxed{C = 3.74 \text{ pF}}
\end{align}
Cálculo de la carga sobre cada placa.
Aplicación de la definición de capacitancia
La carga $Q$ en un capacitor se relaciona con la capacitancia $C$ y la diferencia de potencial $V$ mediante:
\begin{align}
Q = CV
\end{align}
Cálculo de la carga
Sustituyendo los valores de capacitancia y voltaje:
\begin{align}
Q &= CV\\
&= (3.74 \times 10^{-12} \text{ F})(20 \text{ V})\\
&= 7.48 \times 10^{-11} \text{ C}
\end{align}
Resultado de la carga sobre cada placa
\begin{align}
\boxed{Q = 7.48 \times 10^{-11} \text{ C}}
\end{align}
a) Campo eléctrico: \boxed{E = 1.11 \times 10^4 \text{ V/m}}
b) Densidad de carga superficial: \boxed{\sigma = 9.83 \times 10^{-8} \text{ C/m}^2}
c) Capacitancia: \boxed{C = 3.74 \text{ pF}}
d) Carga sobre cada placa: \boxed{Q = 7.48 \times 10^{-11} \text{ C}}
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