Questions: (b) 핵심 질문 기본유형 05 이차방정식 x^2 - 2ax + 8 - 2a = 0 의 서로 다른 두 실근이 -8 과 2 사이에 존재하도록 하는 정수 a 의 값을 구하시오. FGUIDE (i) 서로 다른 두 실근을 가질 조건 → D>0 (ii) 두 실근이 -8 과 2 사이에 존재할 조건 → -8 < (축) < 2 (iii) f(x) = x^2 - 2ax + 8 - 2a 일 때 x=-8, x=2 에서의 함숫값 → f(-8)>0, f(2)>0

(b) 핵심 질문

기본유형 05 이차방정식 x^2 - 2ax + 8 - 2a = 0 의 서로 다른 두 실근이 -8 과 2 사이에 존재하도록 하는 정수 a 의 값을 구하시오.

FGUIDE
(i) 서로 다른 두 실근을 가질 조건 → D>0
(ii) 두 실근이 -8 과 2 사이에 존재할 조건 → -8 < (축) < 2
(iii) f(x) = x^2 - 2ax + 8 - 2a 일 때 x=-8, x=2 에서의 함숫값 → f(-8)>0, f(2)>0

Transcript text: (b) 핵심 질문 기본유형 05 이차방정식 $x^{2}-2 a x+8-2 a=0$ 의 서로 다른 두 실근이 -8 과 2 사이에 존재하도록 하는 정수 $a$ 의 값을 구하시오. FGUIDE (i) 서로 다른 두 실근을 가질 조건 $\rightarrow D>0$ (ii) 두 실근이 -8 과 2 사이에 존재할 조건 $\rightarrow-8<$ (축 $)<2$ (iii) $f(x)=x^{2}-2 a x+8-2 a$ 일 때 $x=-8, x=2$ 에서의 함숫값 $\rightarrow f(-8)>0, f(2)>0$

Solution

Solution Steps

To solve the given quadratic equation $x^2 - 2ax + 8 - 2a = 0$ such that its two distinct real roots lie between -8 and 2, we need to follow these steps:

Discriminant Condition: Ensure the quadratic equation has two distinct real roots by checking if the discriminant $D > 0$.
Vertex Condition: Ensure the vertex of the parabola lies between -8 and 2.
Function Value Condition: Ensure the function values at $x = -8$ and $x = 2$ are positive, i.e., $f(-8) > 0$ and $f(2) > 0$.

Step 1: 판별식 조건 확인

이차방정식 $x^2 - 2ax + 8 - 2a = 0$의 판별식 $D$는 다음과 같습니다: \[ D = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - 2a) = 4a^2 + 8a - 32 \] 서로 다른 두 실근을 가지기 위한 조건은 $D > 0$입니다. 이를 풀면: \[ 4a^2 + 8a - 32 > 0 \] \[ (2a + 8)(2a - 4) > 0 \] 따라서 $a$는 다음 조건을 만족해야 합니다: \[ a < -4 \quad \text{또는} \quad a > 2 \]

Step 2: 꼭짓점 조건 확인

이차방정식의 꼭짓점은 $x = a$입니다. 이 꼭짓점이 -8과 2 사이에 있어야 하므로: \[ -8 < a < 2 \]

Step 3: 함수값 조건 확인

함수 $f(x) = x^2 - 2ax + 8 - 2a$의 $x = -8$과 $x = 2$에서의 함수값이 양수여야 합니다: \[ f(-8) = (-8)^2 - 2a(-8) + 8 - 2a = 64 + 16a + 8 - 2a = 72 + 14a > 0 \] \[ f(2) = (2)^2 - 2a(2) + 8 - 2a = 4 - 4a + 8 - 2a = 12 - 6a > 0 \]

Step 4: 모든 조건 결합

모든 조건을 결합하면: \[ -8 < a < 2 \] \[ 72 + 14a > 0 \] \[ 12 - 6a > 0 \] 그리고 $a < -4$ 또는 $a > 2$ 조건을 만족해야 합니다.

Step 5: 정수 해 찾기

위의 모든 조건을 만족하는 정수 $a$는 $a = -5$입니다.