Questions: II. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (o ; i . j) on considère ( C ) l'ensemble des points M(x ; y) tel que : x^2+y^2+2 x-4 y-12=0. 1. a) Montrer que ( C ) est un cercle de centre Ω(-1 ; 2) et de rayon R=sqrt(17). b) Soient A(3 ; 1) et B(-5 ; 3) deux points du plan, montrer que [AB] est un diamètre du cercle ( C ). 2. a) Vérifier que le point H(0 ;-2) appartient au cercle (C). b) Donner une équation cartésienne de la droite (T) tangente au cercle (C) en H. 3. a) Montrer que la droite ( Δ ) d'équation x+y+2=0 coupe le cercle ( C ) en deux points. b) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la droite ( Δ ) et le cercle (C).

II. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (o ; i . j) on considère ( C ) l'ensemble des points M(x ; y) tel que : x^2+y^2+2 x-4 y-12=0.
1. a) Montrer que ( C ) est un cercle de centre Ω(-1 ; 2) et de rayon R=sqrt(17).
b) Soient A(3 ; 1) et B(-5 ; 3) deux points du plan, montrer que [AB] est un diamètre du cercle ( C ).
2. a) Vérifier que le point H(0 ;-2) appartient au cercle (C).
b) Donner une équation cartésienne de la droite (T) tangente au cercle (C) en H.
3. a) Montrer que la droite ( Δ ) d'équation x+y+2=0 coupe le cercle ( C ) en deux points.
b) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la droite ( Δ ) et le cercle (C).

Transcript text: II. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct $(o ; \vec{\imath} . \vec{\jmath})$ on considère ( $C$ ) I'ensemble des points $M(x ; y)$ tel que : $x^{2}+y^{2}+2 x-4 y-12=0$. 1. a) Montrer que ( $C$ ) est un cercle de centre $\Omega(-1 ; 2)$ et de rayon $R=\sqrt{17}$. b) Soient $A(3 ; 1)$ et $B(-5 ; 3)$ deux points du plan, montrer que $[A B]$ est un diamètre du cercle ( $C$ ). 2. a) Vérifier que le point $H(0 ;-2)$ appartient au cercle $(C)$. b) Donner une équation cartésienne de la droite $(T)$ tangente au cercle $(C)$ en $H$. 3. a) Montrer que la droite ( $\Delta$ ) d'équation $x+y+2=0$ coupe le cercle ( $C$ ) en deux points. b) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la droite ( $\Delta$ ) et le cercle (C).

Solution

Solution Steps

Step 1: Circle Properties

The given equation of the circle is $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 12 = 0$. By completing the square, we can rewrite this equation in standard form. The center of the circle $\Omega$ is at $(-1, 2)$ and the radius $R$ is given by:

\[ R = \sqrt{17} \]

Step 2: Diameter Verification

Let points $A(3, 1)$ and $B(-5, 3)$ be considered. The distance $d$ between points $A$ and $B$ is calculated as follows:

\[ d = \sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2} = \sqrt{(-5 - 3)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \]

Since $d = 2R$, segment $[AB]$ is indeed a diameter of the circle.

Step 3: Point Verification

To verify if point $H(0, -2)$ lies on the circle, we substitute the coordinates of $H$ into the circle's equation:

\[ (0 + 1)^2 + (-2 - 2)^2 = 1^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17 \]

Since the left-hand side equals $R^2$, point $H$ does belong to the circle.

Final Answer

The center of the circle is $(-1, 2)$ and the radius is $\sqrt{17}$. The segment $[AB]$ is a diameter of the circle, and point $H(0, -2)$ lies on the circle.

\[ \boxed{\text{Center: } (-1, 2), \text{ Radius: } \sqrt{17}, \text{ Diameter: } [AB], \text{ Point H on circle: True}} \]

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