Los coeficientes de Clebsch-Gordan \(C_{m_a m_b}^{j_a j_b j m}\) son números que aparecen en la teoría de la adición de momento angular en mecánica cuántica. Estos coeficientes se utilizan para expresar los estados combinados de dos partículas con momentos angulares \(j_a\) y \(j_b\) en términos de los estados de momento angular total \(j\).
Una propiedad importante de los coeficientes de Clebsch-Gordan es que son cero a menos que la suma de los momentos angulares \(j_a\), \(j_b\) y \(j\) sea un número entero par. Esto se debe a la conservación de la paridad en la combinación de momentos angulares.
Para demostrar que \(C_{0}^{j_a j_b j} = 0\) a menos que \(j_a + j_b + j\) sea par, consideramos la paridad de los momentos angulares. La paridad de un estado de momento angular \(j\) es \((-1)^j\). Cuando combinamos dos momentos angulares \(j_a\) y \(j_b\), la paridad del estado combinado es \((-1)^{j_a + j_b}\).
Para que el coeficiente de Clebsch-Gordan \(C_{0}^{j_a j_b j}\) no sea cero, la paridad del estado combinado debe coincidir con la paridad del estado resultante \(j\). Esto implica que:
\[
(-1)^{j_a + j_b} = (-1)^j
\]
Lo que se simplifica a:
\[
j_a + j_b \equiv j \pmod{2}
\]
Esto significa que \(j_a + j_b + j\) debe ser un número entero par.
\[
\boxed{C_{0}^{j_a j_b j} = 0 \text{ a menos que } j_a + j_b + j \text{ sea par}}
\]
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