Questions: ¿Cuál será la solución de la ecuación diferencial ordinaria y x^2 dy + x y^2 dx = 0? (A) y = c / (x + 1) (B) y = x c (C) y = c / x (D) y = c / x^2

Transcript text: ¿Cuál será la solución de la ecuación diferencial ordinaria $y x^{2} d y+x y^{2} d x=0$ ? (A) $y=\frac{c}{(x+1)}$ (B) $y=x c$ (C) $y=\frac{c}{x}$ (D) $y=\frac{c}{x^{2}}$

Solution

Solution Steps

To solve the given ordinary differential equation (ODE) $ y x^{2} \, dy + x y^{2} \, dx = 0 $, we can attempt to separate variables or identify it as an exact equation. By rearranging terms and integrating, we can find the general solution.

Step 1: Planteamiento de la Ecuación

La ecuación diferencial ordinaria dada es $ y x^{2} \, dy + x y^{2} \, dx = 0 $. Para resolverla, reorganizamos los términos y buscamos una forma de separar las variables.

Step 2: Resolución de la Ecuación

Al reorganizar la ecuación, obtenemos: \[ y x^{2} \frac{dy}{dx} + x y^{2} = 0 \] Esto se puede reescribir como: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{y^{2}}{x^{2}y} \] Separando las variables, llegamos a la forma: \[ \frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x} \] Integrando ambos lados, obtenemos: \[ \ln |y| = -\ln |x| + C \] Lo que se puede simplificar a: \[ y = \frac{C}{x} \]

Step 3: Identificación de la Solución

La solución general de la ecuación diferencial es: \[ y = \frac{C}{x} \] donde $ C $ es una constante de integración.