Questions: A figura a seguir representa demarcação de uma propriedade. Considerando as coordenadas dos vértices representados por V1, V2, V3, V4 e V5 marque a alternativa que identifica corretamente a área da propriedade. a) 2.950 m^2 b) 3.950 m^2

A figura a seguir representa demarcação de uma propriedade. Considerando as coordenadas dos vértices representados por V1, V2, V3, V4 e V5 marque a alternativa que identifica corretamente a área da propriedade. a) 2.950 m^2 b) 3.950 m^2

Transcript text: A figura a seguir representa demarcação de uma propriedade. Considerando as coordenadas dos vértices representados por V1, V2, V3, V4 e V5 marque a alternativa que identifica corretamente a área da propriedade. a) $2.950 \mathrm{~m}^{2}$ b) $3.950 \mathrm{~m}^{2}$

Solution

Solution Steps

Step 1: Identify the coordinates of the vertices

The coordinates of the vertices are:

V1: (20, 40)
V2: (50, 60)
V3: (110, 70)
V4: (115, 35)
V5: (60, 20)

Step 2: Apply the Shoelace formula

The Shoelace formula for the area of a polygon with vertices $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$ is given by: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} (x_i y_{i+1} - y_i x_{i+1}) + (x_n y_1 - y_n x_1) \right| \]

Step 3: Substitute the coordinates into the formula

Substitute the coordinates of the vertices into the Shoelace formula: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| (20 \cdot 60 + 50 \cdot 70 + 110 \cdot 35 + 115 \cdot 20 + 60 \cdot 40) - (40 \cdot 50 + 60 \cdot 110 + 70 \cdot 115 + 35 \cdot 60 + 20 \cdot 20) \right| \]

Step 4: Calculate the sums inside the absolute value

Calculate the sums: \[ \text{Sum 1} = 20 \cdot 60 + 50 \cdot 70 + 110 \cdot 35 + 115 \cdot 20 + 60 \cdot 40 = 1200 + 3500 + 3850 + 2300 + 2400 = 13250 \] \[ \text{Sum 2} = 40 \cdot 50 + 60 \cdot 110 + 70 \cdot 115 + 35 \cdot 60 + 20 \cdot 20 = 2000 + 6600 + 8050 + 2100 + 400 = 19150 \]

Step 5: Compute the absolute difference and divide by 2

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| 13250 - 19150 \right| = \frac{1}{2} \left| -5900 \right| = \frac{5900}{2} = 2950 \]