Questions: Pregunta 7.- Encuentre la derivada de f(x)=cos^(3)(3x) A) y'=9 cos^(2)(3x) sen(3x) B) y'=-3 cos^(2)(3x) sen(3x) C) y'=-9 cos^(2)(3x) sen(3x)

Transcript text: Pregunta 7.- Encuentre la derivada de $f(x)=\cos ^{3}(3 x)$ A) $y^{\prime}=9 \cos ^{2}(3 x) \operatorname{sen}(3 x)$ B) $y^{\prime}=-3 \cos ^{2}(3 x) \operatorname{sen}(3 x)$ C) $y^{\prime}=-9 \cos ^{2}(3 x) \operatorname{sen}(3 x)$

Solution

To find the derivative of the function $ f(x) = \cos^3(3x) $, we need to use the chain rule and the power rule. First, we recognize that $ \cos^3(3x) $ can be written as $ (\cos(3x))^3 $. We then apply the chain rule to differentiate the outer function and the inner function separately.

Solution Approach

Let $ u = \cos(3x) $, so $ f(x) = u^3 $.
Differentiate $ u^3 $ with respect to $ u $ to get $ 3u^2 $.
Differentiate $ u = \cos(3x) $ with respect to $ x $ to get $ -3\sin(3x) $.
Combine the results using the chain rule.

Paso 1: Definición de la función

Consideramos la función $ f(x) = \cos^3(3x) $.

Paso 2: Aplicación de la regla de la cadena

Para encontrar la derivada $ f'(x) $, aplicamos la regla de la cadena. Definimos $ u = \cos(3x) $, por lo que $ f(x) = u^3 $.

Paso 3: Derivación de la función externa

La derivada de $ u^3 $ con respecto a $ u $ es: \[ \frac{d}{du}(u^3) = 3u^2 \]

Paso 4: Derivación de la función interna

Ahora, derivamos $ u = \cos(3x) $ con respecto a $ x $: \[ \frac{d}{dx}(\cos(3x)) = -3\sin(3x) \]

Paso 5: Combinación de resultados

Usando la regla de la cadena, combinamos los resultados: \[ f'(x) = 3u^2 \cdot \frac{du}{dx} = 3(\cos(3x))^2 \cdot (-3\sin(3x)) = -9\sin(3x)\cos^2(3x) \]

Respuesta Final

La derivada de la función es: \[ \boxed{f'(x) = -9\sin(3x)\cos^2(3x)} \]

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