Questions: 함수 f(x)는 다음과 같다: x<1일 때, 1/x-3이고, x≥1일 때, x^2+5이다. 함수 g(x)=f(x)(f(x)+k)가 x=1에서 연속이 되도록 하는 상수 k의 값은?

Transcript text: 함수 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}-3 & (x<1) \\ x^{2}+5 & (x \geq 1)\end{array}\right.$ 에 대하여 함수 $g(x)=f(x)\{f(x)+k\}$ 가 $x=1$ 에서 연속이 되도록 하는 상수 $k$ 의 값은?

Solution

Solution Steps

To find the value of $ k $ that makes the function $ g(x) = f(x) \{ f(x) + k \} $ continuous at $ x = 1 $, we need to ensure that the left-hand limit and the right-hand limit of $ g(x) $ at $ x = 1 $ are equal. This involves evaluating $ f(x) $ at the boundary $ x = 1 $ and then solving for $ k $.

Evaluate $ f(x) $ as $ x $ approaches 1 from the left and from the right.
Use these values to construct $ g(x) $ on both sides of $ x = 1 $.
Set the left-hand limit of $ g(x) $ equal to the right-hand limit of $ g(x) $ at $ x = 1 $ and solve for $ k $.

Step 1: 함수 $ f(x) $의 정의 확인

함수 $ f(x) $는 다음과 같이 정의됩니다: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} - 3 & \text{if } x < 1 \\ x^2 + 5 & \text{if } x \geq 1 \end{cases} \]

Step 2: $ x = 1 $에서의 함수 값 계산

$ x = 1 $에서의 함수 값을 계산합니다. \[ f(1) = 1^2 + 5 = 6 \]

Step 3: 함수 $ g(x) $의 정의 확인

함수 $ g(x) $는 다음과 같이 정의됩니다: \[ g(x) = f(x) \{ f(x) + k \} \]

Step 4: $ x = 1 $에서의 $ g(x) $의 연속성 조건 설정

$ x = 1 $에서 $ g(x) $가 연속이 되려면, $ x \to 1^- $와 $ x \to 1^+ $에서의 $ g(x) $ 값이 같아야 합니다.

Step 5: $ x \to 1^- $에서의 $ g(x) $ 계산

$ x \to 1^- $에서 $ f(x) = \frac{1}{x} - 3 $이므로, \[ f(x) \to \frac{1}{1} - 3 = -2 \] 따라서, \[ g(x) \to (-2) \{ (-2) + k \} = -2(-2 + k) = 4 - 2k \]

Step 6: $ x \to 1^+ $에서의 $ g(x) $ 계산

$ x \to 1^+ $에서 $ f(x) = x^2 + 5 $이므로, \[ f(1) = 6 \] 따라서, \[ g(1) = 6(6 + k) = 36 + 6k \]