Questions: 5. Dada a equação y^2 + 6y - 8x + 1 = 0, que representa uma parábola, faça o que se pede: (a) Determine a equação reduzida da parábola. (b) Encontre as coordenadas do foco da parábola. (c) Esboce o gráfico da parábola, identificando seu foco, eixo de simetria e diretriz.

Solution Steps

A equação dada é $y^{2} + 6y - 8x + 1 = 0$. Vamos completar o quadrado para encontrar a forma reduzida.

Primeiro, isolamos os termos em $y$: \[ y^{2} + 6y = 8x - 1 \]

Agora, completamos o quadrado: \[ y^{2} + 6y + 9 = 8x - 1 + 9 \] \[ (y + 3)^{2} = 8x + 8 \] \[ (y + 3)^{2} = 8(x + 1) \]

Portanto, a equação reduzida da parábola é: \[ (y + 3)^{2} = 8(x + 1) \]

A equação reduzida da parábola é $(y + 3)^{2} = 8(x + 1)$. Esta é uma parábola que abre para a direita. A forma padrão é $(y - k)^{2} = 4p(x - h)$, onde $(h, k)$ é o vértice e $p$ é a distância do vértice ao foco.

Comparando: \[ 4p = 8 \] \[ p = 2 \]

O vértice da parábola é $(-1, -3)$. O foco está a uma distância $p$ do vértice ao longo do eixo de simetria (horizontalmente para a direita): \[ \text{Foco} = (-1 + 2, -3) = (1, -3) \]

Para esboçar o gráfico, precisamos da equação da diretriz e do eixo de simetria. A diretriz está a uma distância $p$ do vértice, no lado oposto ao foco: \[ \text{Diretriz}: x = -1 - 2 = -3 \]

O eixo de simetria é a linha horizontal que passa pelo vértice: \[ \text{Eixo de simetria}: y = -3 \]

Final Answer