Questions: Considere el conjunto A=] 0,1[ (a) (2 puntos) Muestre usando la definición que x=1/2 es un punto interior de A. (b) (2 puntos) Muestre usando la definición que x=1/4 es un punto de acumulación de A. (c) (2 puntos) Muestre usando la definición que x=1 es un punto frontera de A.

Considere el conjunto A=] 0,1[
(a) (2 puntos) Muestre usando la definición que x=1/2 es un punto interior de A.
(b) (2 puntos) Muestre usando la definición que x=1/4 es un punto de acumulación de A.
(c) (2 puntos) Muestre usando la definición que x=1 es un punto frontera de A.

Transcript text: Considere el conjunto $A=] 0,1[$ (a) (2 puntos) Muestre usando la definición que $x=\frac{1}{2}$ es un punto interior de $A$. (b) (2 puntos) Muestre usando la definición que $x=\frac{1}{4}$ es un punto de acumulación de $A$. (c) (2 puntos) Muestre usando la definición que $x=1$ es un punto frontera de $A$.

Solution

Solution Steps

Solution Approach

(a) To show that $ x = \frac{1}{2} $ is an interior point of $ A $, we need to find an open interval around $ \frac{1}{2} $ that is entirely contained within $ A $.

(b) To show that $ x = \frac{1}{4} $ is a limit point (or accumulation point) of $ A $, we need to demonstrate that every open interval around $ \frac{1}{4} $ contains a point from $ A $ other than $ \frac{1}{4} $ itself.

(c) To show that $ x = 1 $ is a boundary point of $ A $, we need to show that every open interval around $ 1 $ contains points from both $ A $ and the complement of $ A $.

Step 1: Punto interior de $ A $

Para mostrar que $ x = \frac{1}{2} $ es un punto interior de $ A $, consideramos un intervalo abierto alrededor de $ \frac{1}{2} $. Elegimos $ \epsilon = 0.1 $. Entonces, el intervalo $ \left( \frac{1}{2} - 0.1, \frac{1}{2} + 0.1 \right) = (0.4, 0.6) $ está completamente contenido en $ A = (0, 1) $. Por lo tanto, $ x = \frac{1}{2} $ es un punto interior de $ A $.

Step 2: Punto de acumulación de $ A $

Para mostrar que $ x = \frac{1}{4} $ es un punto de acumulación de $ A $, consideramos un intervalo abierto alrededor de $ \frac{1}{4} $ con $ \epsilon = 0.1 $. El intervalo $ \left( \frac{1}{4} - 0.1, \frac{1}{4} + 0.1 \right) = (0.15, 0.35) $ contiene puntos de $ A $ (por ejemplo, $ 0.2 $) que son diferentes de $ \frac{1}{4} $. Por lo tanto, $ x = \frac{1}{4} $ es un punto de acumulación de $ A $.

Step 3: Punto frontera de $ A $

Para mostrar que $ x = 1 $ es un punto frontera de $ A $, consideramos un intervalo abierto alrededor de $ 1 $ con $ \epsilon = 0.1 $. El intervalo $ (1 - 0.1, 1 + 0.1) = (0.9, 1.1) $ contiene puntos de $ A $ (por ejemplo, $ 0.95 $) y también contiene puntos que no están en $ A $ (por ejemplo, $ 1.05 $). Por lo tanto, $ x = 1 $ es un punto frontera de $ A $.

Final Answer

$\boxed{\text{(a) } x = \frac{1}{2} \text{ es un punto interior de } A, \text{ (b) } x = \frac{1}{4} \text{ es un punto de acumulación de } A, \text{ (c) } x = 1 \text{ es un punto frontera de } A.}$

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