To solve the integral \(\int x \ln x \, dx\), we can use integration by parts. Integration by parts is based on the formula \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\). We choose \(u = \ln x\) and \(dv = x \, dx\). Then, we find \(du\) and \(v\) and apply the integration by parts formula.
Para resolver la integral \(\int x \ln x \, dx\), utilizamos la fórmula de integración por partes:
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
Elegimos \(u = \ln x\) y \(dv = x \, dx\). Entonces, calculamos \(du\) y \(v\):
\[
du = \frac{1}{x} \, dx \quad \text{y} \quad v = \frac{x^2}{2}
\]
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, tenemos:
\[
\int x \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx
\]
Simplificando la integral restante:
\[
\int x \ln x \, dx = \frac{x^2 \ln x}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{1}{2} \int x \, dx
\]
La integral \(\int x \, dx\) se evalúa como:
\[
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}
\]
Sustituyendo esto en nuestra expresión:
\[
\int x \ln x \, dx = \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4}
\]
Por lo tanto, la solución de la integral es:
\[
\boxed{\frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C}
\]
donde \(C\) es la constante de integración.
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