Questions: (2) (a1=2), (an+1=fracanan+3) ((n=1,2,3, ldots)) Como (an+1=fracanan+3), (frac1an+1=) Sea (bn=frac1an). Como (bn+1=)

Dada la secuencia definida por \( a_{1} = 2 \) y la relación de recurrencia \( a_{n+1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 3} \), comenzamos con el primer término \( a_{1} = 2 \).

Calculamos los siguientes términos de la secuencia utilizando la relación de recurrencia:

• \( a_{2} = \frac{a_{1}}{a_{1} + 3} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5} = 0.4 \)
• \( a_{3} = \frac{a_{2}}{a_{2} + 3} = \frac{0.4}{0.4 + 3} = \frac{0.4}{3.4} = \frac{2}{17} \)
• \( a_{4} = \frac{a_{3}}{a_{3} + 3} = \frac{\frac{2}{17}}{\frac{2}{17} + 3} = \frac{\frac{2}{17}}{\frac{2 + 51}{17}} = \frac{2}{53} \)

Continuamos este proceso para calcular hasta \( a_{10} \).

Los primeros diez términos de la secuencia son:

• \( a_{1} = 2 \)
• \( a_{2} = \frac{2}{5} \)
• \( a_{3} = \frac{2}{17} \)
• \( a_{4} = \frac{2}{53} \)
• \( a_{5} = \frac{2}{171} \)
• \( a_{6} = \frac{2}{513} \)
• \( a_{7} = \frac{2}{1719} \)
• \( a_{8} = \frac{2}{5133} \)
• \( a_{9} = \frac{2}{15351} \)
• \( a_{10} = \frac{2}{45963} \)

Estos valores muestran cómo la secuencia converge a cero a medida que \( n \) aumenta.

\(\boxed{a_{10} = \frac{2}{45963}}\)