Questions: 실수 a, b 에 대하여 함수 f(x)= ax^2 - bx + 2 (x >= -1) -x + 3 (x < -1) 이 x=-1 에서 미분가능할 때, f(1) 의 값은?

Transcript text: 실수 $a, b$ 에 대하여 함수 \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a x^{2}-b x+2 & (x \geq-1) \\ -x+3 & (x<-1) \end{array}\right. \] 이 $x=-1$ 에서 미분가능할 때, $f(1)$ 의 값은?

Solution

Solution Steps

To determine the value of $ f(1) $ given that the function $ f(x) $ is differentiable at $ x = -1 $, we need to ensure both the continuity and differentiability of $ f(x) $ at $ x = -1 $. This involves the following steps:

Continuity at $ x = -1 $: Ensure that the left-hand limit and right-hand limit of $ f(x) $ at $ x = -1 $ are equal.
Differentiability at $ x = -1 $: Ensure that the left-hand derivative and right-hand derivative of $ f(x) $ at $ x = -1 $ are equal.
Solve for $ a $ and $ b $: Use the conditions from steps 1 and 2 to solve for $ a $ and $ b $.
Evaluate $ f(1) $: Once $ a $ and $ b $ are determined, substitute $ x = 1 $ into the expression for $ f(x) $ when $ x \geq -1 $.

Step 1: 연속성 조건 설정

함수 $ f(x) $가 $ x = -1 $에서 연속이기 위해서는 좌극한과 우극한이 같아야 합니다. 즉, \[ \lim_{{x \to -1^-}} f(x) = \lim_{{x \to -1^+}} f(x) \] 이를 수식으로 나타내면, \[ a(-1)^2 - b(-1) + 2 = -(-1) + 3 \] 즉, \[ a + b + 2 = 4 \]

Step 2: 미분 가능성 조건 설정

함수 $ f(x) $가 $ x = -1 $에서 미분 가능하기 위해서는 좌미분과 우미분이 같아야 합니다. 즉, \[ \lim_{{x \to -1^-}} f'(x) = \lim_{{x \to -1^+}} f'(x) \] 이를 수식으로 나타내면, \[ 2a(-1) - b = -1 \] 즉, \[ -2a - b = -1 \]

Step 3: 연립 방정식 풀기

연속성과 미분 가능성 조건을 만족하는 $ a $와 $ b $를 구하기 위해 연립 방정식을 풉니다. \[ \begin{cases} a + b + 2 = 4 \\ -2a - b = -1 \end{cases} \] 이를 풀면, \[ a = -1, \quad b = 3 \]

Step 4: $ f(1) $ 계산

$ x \geq -1 $일 때의 함수 $ f(x) $에 $ a $와 $ b $ 값을 대입하고 $ x = 1 $일 때의 값을 구합니다. \[ f(1) = a(1)^2 - b(1) + 2 = -1(1)^2 - 3(1) + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 \]