Questions: Pregunta 9 1 punto Considere la transformación lineal T: R^3 → P2(R), tal que T(a b c) = (a+3b)x^2 + (b-2c)x + (a+6c) La dimensión del kernel de T es igual a (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Pregunta 9
1 punto

Considere la transformación lineal T: R^3 → P2(R), tal que T(a b c) = (a+3b)x^2 + (b-2c)x + (a+6c) La dimensión del kernel de T es igual a
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Transcript text: Pregunta 9 1 punto Considere la transformación lineal $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})$, tal que $T\left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right)=(a+3 b) x^{2}+(b-2 c) x+(a+6 c)$ La dimensión del kernel de $T$ é_igual a (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Solution

To find the dimension of the kernel of the linear transformation $ T $, we need to determine the set of vectors $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ in $\mathbb{R}^3$ that are mapped to the zero polynomial in $\mathscr{P}_2(\mathbb{R})$. This means solving the system of equations derived from setting the polynomial coefficients to zero: $a + 3b = 0$, $b - 2c = 0$, and $a + 6c = 0$. The dimension of the kernel is the number of free variables in the solution to this system.

Paso 1: Definición del sistema de ecuaciones

Para encontrar la dimensión del núcleo de la transformación lineal $ T $, consideramos el sistema de ecuaciones derivado de igualar los coeficientes del polinomio a cero:

\[ \begin{align*}