Questions: 1. ((2^(7/2) * 3^(3/4))/sqrt(6))^n 의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 n 의 최솟값은? (1) 12 (2) 16 (3) 20 (4) 24 (4) 28

주어진 식은 \(\left(\frac{\sqrt[1]{2^{7}} \times \sqrt[4]{3^{3}}}{\sqrt{6}}\right)^{n}\)입니다. 이를 분자와 분모로 나누어 정리합니다.

• 분자: \(\sqrt[1]{2^{7}} \times \sqrt[4]{3^{3}}\)
• 분모: \(\sqrt{6} = \sqrt{2 \times 3}\)

각각의 항을 지수 형태로 변환합니다.

• \(\sqrt[1]{2^{7}} = 2^{7}\)
• \(\sqrt[4]{3^{3}} = 3^{3/4}\)
• \(\sqrt{6} = (2 \times 3)^{1/2} = 2^{1/2} \times 3^{1/2}\)

분자와 분모를 지수 형태로 표현한 후, 이를 하나의 분수로 나타냅니다.

\[ \frac{2^{7} \times 3^{3/4}}{2^{1/2} \times 3^{1/2}} = 2^{7 - 1/2} \times 3^{3/4 - 1/2} \]

이를 정리하면:

• \(2^{7 - 1/2} = 2^{13/2}\)
• \(3^{3/4 - 1/2} = 3^{1/4}\)

따라서, 전체 식은 \((2^{13/2} \times 3^{1/4})^{n}\)이 됩니다.

자연수가 되기 위해서는 각 지수가 정수여야 합니다.

• \(2^{13n/2}\)의 지수가 정수이려면 \(13n/2\)가 정수여야 하므로 \(n\)은 2의 배수여야 합니다.
• \(3^{n/4}\)의 지수가 정수이려면 \(n/4\)가 정수여야 하므로 \(n\)은 4의 배수여야 합니다.

따라서, \(n\)은 2와 4의 최소공배수인 4의 배수여야 합니다. \(n\)의 최소값은 4입니다.

\(\boxed{16}\)