与えられた式 \( a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \) の分母を有理化します。分母を有理化するために、分子と分母に \( 3 + 2\sqrt{2} \) を掛けます。
\[
a = \frac{1 \cdot (3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2}
\]
したがって、分母を有理化した結果は \( a = 2\sqrt{2} + 3 \) です。
次に、\( a \) の小数部分を \( b \) とします。まず、\( a \) の値を計算します。
\[
a \approx 2\sqrt{2} + 3 \approx 5.828427124746190
\]
ここから整数部分を引くことで小数部分 \( b \) を求めます。
\[
b = a - \lfloor a \rfloor = 5.828427124746190 - 5 = 0.828427124746190
\]
次に、\( a^2 - b^2 \) の値を求めます。まず、\( a^2 \) を計算します。
\[
a^2 = (2\sqrt{2} + 3)^2 = 8 + 12\sqrt{2} + 9 = 17 + 12\sqrt{2}
\]
次に、\( b^2 \) を計算します。
\[
b^2 = (0.828427124746190)^2 \approx 0.686291501015239
\]
したがって、\( a^2 - b^2 \) は次のようになります。
\[
a^2 - b^2 = (17 + 12\sqrt{2}) - 0.686291501015239
\]
最後に、\( b \) を用いて不等式 \( p < x < p + 4b \) の範囲を求めます。ここで、\( b \) の値は次のように計算されます。
\[
4b = 4 \times 0.828427124746190 \approx 3.31370849898476
\]
したがって、不等式の範囲は次のようになります。
\[
p < x < p + 3.31370849898476
\]
(1) \( \boxed{2\sqrt{2} + 3} \)
(2) \( b \approx 0.828427124746190 \) と \( a^2 - b^2 \approx 16.31370849898476 + 12\sqrt{2} \)
(3) \( p < x < p + 3.31370849898476 \)