Questions: Questão 2 Um cilindro encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga igual a (3 r+r^3), dada em coordenadas cilíndricas. Encontre a carga encerrada no volume definido pela região E(r, θ, z) 0 ≤ r ≤ 1 ; 0 ≤ z ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π Dado: dV = r dz dr dθ Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questöes. Assinale a alternativa correta.

Questão 2
Um cilindro encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga igual a (3 r+r^3), dada em coordenadas cilíndricas. Encontre a carga encerrada no volume definido pela região
E(r, θ, z)  0 ≤ r ≤ 1 ; 0 ≤ z ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π
Dado: dV = r dz dr dθ

Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questöes. Assinale a alternativa correta.
Transcript text: Questão 2 Um cilindro encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga igual a $\left(3 r+r^{3}\right)$, dada em coordenadas cilíndricas. Encontre a carga encerrada no volume definido pela região \[ \begin{array}{l} E\{(r, \theta, z) \mid 0 \leq r \leq 1 ; 0 \leq z \leq 1 ; 0 \leq \theta \leq 2 \pi\} \\ \text { Dado: } d V=r d z d r d \theta \end{array} \] Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questöes. Assinale a alternativa correta.
failed

Solution

failed
failed

Solution Steps

Step 1: Understand the Problem

We need to find the total charge enclosed in a cylindrical volume with a given charge density. The charge density is given as a function of the radial coordinate r r in cylindrical coordinates: ρ(r)=3r+r3\rho(r) = 3r + r^3. The volume of interest is defined by the region 0r10 \leq r \leq 1, 0z10 \leq z \leq 1, and 0θ2π0 \leq \theta \leq 2\pi.

Step 2: Set Up the Integral

The total charge Q Q enclosed in the volume can be found by integrating the charge density over the specified volume. The differential volume element in cylindrical coordinates is given by dV=rdzdrdθ dV = r \, dz \, dr \, d\theta .

The integral to find the total charge is: Q=02π0101ρ(r)rdzdrdθ Q = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^1 \rho(r) \, r \, dz \, dr \, d\theta

Step 3: Substitute the Charge Density

Substitute ρ(r)=3r+r3\rho(r) = 3r + r^3 into the integral: Q=02π0101(3r+r3)rdzdrdθ Q = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^1 (3r + r^3) \, r \, dz \, dr \, d\theta

Step 4: Simplify the Integral

Simplify the integrand: Q=02π0101(3r2+r4)dzdrdθ Q = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^1 (3r^2 + r^4) \, dz \, dr \, d\theta

Step 5: Perform the Integration

First, integrate with respect to z z : Q=02π01(3r2+r4)[z]01drdθ=02π01(3r2+r4)drdθ Q = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (3r^2 + r^4) \, [z]_0^1 \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (3r^2 + r^4) \, dr \, d\theta

Next, integrate with respect to r r : Q=02π[3r33+r55]01dθ=02π(r3+r55)01dθ Q = \int_0^{2\pi} \left[ \frac{3r^3}{3} + \frac{r^5}{5} \right]_0^1 \, d\theta = \int_0^{2\pi} \left( r^3 + \frac{r^5}{5} \right)_0^1 \, d\theta =02π(1+15)dθ=02π65dθ = \int_0^{2\pi} \left( 1 + \frac{1}{5} \right) \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{6}{5} \, d\theta

Finally, integrate with respect to θ \theta : Q=[65θ]02π=65×2π=12π5 Q = \left[ \frac{6}{5} \theta \right]_0^{2\pi} = \frac{6}{5} \times 2\pi = \frac{12\pi}{5}

Final Answer

The total charge enclosed in the specified volume is 12π5\boxed{\frac{12\pi}{5}}.

Was this solution helpful?
failed
Unhelpful
failed
Helpful