Questions: distribucion normal. Se considera una muestra con la sigurente información: Recaudación diaria (miles de dólares) Negocios 15-21 5 21-27 36 27-33 18 33-39 12 39-45 10 Mediante un test de hipotesis del 95% verifique si el porcentaje de dias que existe una recaudación inferior a 27 mil dólares es mayor a 46%. Determine las hipótesis que representan el problema. H0: P>0.46 H1: P ≤ 0.46 H0: P ≤ 0.46 H1: P>0.46 H0: P ≥ 0.46 H1: P<0.46 H0: P<0.46 H1: P ≥ 0.46

To solve this problem, we need to perform a hypothesis test to determine if the percentage of days with a daily revenue less than $27,000 is greater than 46%. We will use the given data to calculate the sample proportion and then perform a one-sample z-test for proportions.

1. Calculate the sample proportion: Determine the number of days with revenue less than $27,000 and divide by the total number of days.
2. Set up the hypotheses:
   • Null hypothesis \( H_0 \): \( P \leq 0.46 \)
   • Alternative hypothesis \( H_1 \): \( P > 0.46 \)
3. Perform the z-test: Use the sample proportion, hypothesized proportion, and sample size to calculate the z-score and p-value.
4. Make a decision: Compare the p-value to the significance level (0.05) to decide whether to reject the null hypothesis.

Dado que el número total de días es 81 y el número de días con una recaudación inferior a $27,000 es 41, la proporción muestral se calcula como: \[ \hat{P} = \frac{41}{81} \approx 0.5062 \]

Las hipótesis para este problema son: \[ \begin{array}{l} H_0: P \leq 0.46 \\ H_1: P > 0.46 \end{array} \]

El error estándar se calcula usando la proporción hipotética \( P_0 = 0.46 \) y el tamaño de la muestra \( n = 81 \): \[ SE = \sqrt{\frac{P_0 (1 - P_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.46 \times (1 - 0.46)}{81}} \approx 0.05538 \]

El valor de \( z \) se calcula como: \[ z = \frac{\hat{P} - P_0}{SE} = \frac{0.5062 - 0.46}{0.05538} \approx 0.8338 \]

El valor \( p \) se obtiene de la distribución normal estándar: \[ p = 1 - \Phi(z) \approx 1 - \Phi(0.8338) \approx 0.2022 \]

Comparando el valor \( p \) con el nivel de significancia \(\alpha = 0.05\): \[ p = 0.2022 > 0.05 \] No rechazamos la hipótesis nula \( H_0 \).

La proporción de días con una recaudación inferior a $27,000 no es significativamente mayor al 46% al nivel de significancia del 5%. Por lo tanto, no rechazamos \( H_0 \).

\(\boxed{\text{No rechazamos } H_0}\)