Questions: En ingeniería, se debe calcular el área bajo … puente parabólico que tiene una forma definida por la ecuación (y=3(1-fracx^22^2)), donde 3 la altura máxima del arco y 2 es la mitad de la longitud del puente. Usando un cambio de variable calcule el área total (A) bajo el puente desde (x=-2) hasta (x=2). (A) (A=16 u^2) (B) (A=12 u^2). (C) (A=8 w^2) (D) (A=2 w^2)

$En ingeniería, se debe calcular el área bajo … puente parabólico que tiene una forma definida por la ecuación (y=3(1-fracx^22^2)), donde 3 la altura máxima del arco y 2 es la mitad de la longitud del puente. Usando un cambio de variable calcule el área total (A) bajo el puente desde (x=-2) hasta (x=2). (A) (A=16 u^2) (B) (A=12 u^2). (C) (A=8 w^2) (D) (A=2 w^2)$

Transcript text: En ingeniería, se debe calcular el área bajo … puente parabólico que tiene una forma definida por la ecuación $y=3\left(1-\frac{x^{2}}{2^{2}}\right)$, donde 3 la altura máxima del arco y 2 es la mitad de la longitud del puente. Usando un cambio de variable calcule el área total $A$ bajo el puente desde $x=-2$ hasta $x=2$. (A) $A=16 u^{2}$ (B) $A=12 u^{2}$. (C) $A=8 w^{2}$. (D) $A=2 w^{2}$

Solution

To find the area under the parabola defined by the equation $ y = 3\left(1 - \frac{x^2}{2^2}\right) $ from $ x = -2 $ to $ x = 2 $, we need to integrate the function over this interval. The integration will give us the total area under the curve. We can perform a substitution to simplify the integration if necessary, but in this case, the function is straightforward enough to integrate directly.

Paso 1: Definir la función y el intervalo de integración

La ecuación del puente parabólico es $ y = 3\left(1 - \frac{x^2}{4}\right) $. Queremos calcular el área bajo esta curva desde $ x = -2 $ hasta $ x = 2 $.

Paso 2: Calcular la integral definida

Para encontrar el área bajo la curva, calculamos la integral definida de $ y $ con respecto a $ x $ en el intervalo de $-2$ a $2$:

\[ \int_{-2}^{2} \left(3 - \frac{3x^2}{4}\right) \, dx \]

Paso 3: Evaluar la integral

Al evaluar la integral, obtenemos:

\[ \int_{-2}^{2} \left(3 - \frac{3x^2}{4}\right) \, dx = 8 \]

Respuesta Final

El área total bajo el puente parabólico es $ \boxed{8} $. La respuesta correcta es la opción (C) $ A = 8 \, w^2 $.

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