Questions: Si cuando se lanza un dado 4 veces, P1 es la probabilidad de que los 4 resultados sean iguales y P2 la probabilidad de que los 4 resultados sean diferentes, entonces ¿cuál es el valor de P1+P2?

Si cuando se lanza un dado 4 veces, P1 es la probabilidad de que los 4 resultados sean iguales y P2 la probabilidad de que los 4 resultados sean diferentes, entonces ¿cuál es el valor de P1+P2?

Transcript text: Si cuando se lanza un dado 4 veces, $P_{1}$ es la probabilidad de que los 4 resultados sean iguales y $P_{2}$ la probabilidad de que los 4 resultados sean diferentes, entonces ¿cuál es el valor de $P_{1}+P_{2}$ ?

Solution

To solve this problem, we need to calculate the probabilities $ P_1 $ and $ P_2 $ and then find their sum. $ P_1 $ is the probability that all four dice rolls are the same, and $ P_2 $ is the probability that all four dice rolls are different. For $ P_1 $, there are 6 possible outcomes (all ones, all twos, etc.) out of $ 6^4 $ total outcomes. For $ P_2 $, we need to choose 4 different numbers from 6, and then arrange them, which can be calculated using permutations. Finally, we add these probabilities to find $ P_1 + P_2 $.

Paso 1: Cálculo de $ P_1 $

La probabilidad $ P_1 $ de que los 4 resultados sean iguales se calcula como sigue: \[ P_1 = \frac{6}{6^4} = \frac{6}{1296} = 0.0046 \]

Paso 2: Cálculo de $ P_2 $

La probabilidad $ P_2 $ de que los 4 resultados sean diferentes se calcula considerando que hay que elegir 4 números diferentes de 6 y luego ordenarlos: \[ P_2 = \frac{6!}{(6-4)! \cdot 6^4} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{1296} = 0.2778 \]

Paso 3: Suma de probabilidades

Ahora sumamos $ P_1 $ y $ P_2 $: \[ P_1 + P_2 = 0.0046 + 0.2778 = 0.2824 \]

Respuesta Final

La suma de las probabilidades $ P_1 + P_2 $ es aproximadamente $ 0.2824 $. Por lo tanto, la respuesta es: \[ \boxed{0.2824} \]

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