To determine how many integer values do not belong to the domain of the function \( f(x) = \sqrt{\frac{(x-2)^{2}(x+1)}{x^{3}-1}} \), we need to identify the values of \( x \) that make the expression inside the square root undefined or negative. Specifically, the denominator \( x^3 - 1 \) should not be zero, and the entire expression under the square root should be non-negative.
- Find the values of \( x \) that make the denominator zero by solving \( x^3 - 1 = 0 \).
- Determine the values of \( x \) that make the expression under the square root negative or zero.
- Count the integer values that satisfy these conditions.
La función dada es:
\[
f(x) = \sqrt{\frac{(x-2)^{2}(x+1)}{x^{3}-1}}
\]
Para que la función esté definida, el radicando debe ser no negativo y el denominador no debe ser cero.
El numerador es \((x-2)^2(x+1)\). Dado que \((x-2)^2\) es siempre no negativo (ya que es un cuadrado), solo necesitamos que \((x+1) \geq 0\). Por lo tanto:
\[
x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1
\]
El denominador es \(x^3 - 1\). Para que la función esté definida, \(x^3 - 1 \neq 0\). Esto implica:
\[
x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1
\]
Por lo tanto, \(x \neq 1\).
Combinando las condiciones anteriores, el dominio de la función es \(x \geq -1\) y \(x \neq 1\). Los valores enteros que no pertenecen al dominio son aquellos que no satisfacen estas condiciones.
Los valores enteros que no pertenecen al dominio son aquellos que están fuera del intervalo \([-1, \infty)\) o que son iguales a 1. Sin embargo, dado que el intervalo comienza en \(-1\), el único valor entero que no pertenece al dominio dentro de este intervalo es \(x = 1\).
El número de valores enteros que no pertenecen al dominio de la función es:
\[
\boxed{1}
\]
Answered
