Questions: Resuelve las siguientes integrales con el método de integración por sustitución trigonométrica. 1) ∫ 2x / √(25-x^2) dx 2) ∫ x / √(49+x^2) dx 3) ∫ x dx / √(x^2-25) Demuestra que el área de un círculo de radio 2 es 4π.

Resuelve las siguientes integrales con el método de integración por sustitución trigonométrica.
1) ∫ 2x / √(25-x^2) dx
2) ∫ x / √(49+x^2) dx
3) ∫ x dx / √(x^2-25)
Demuestra que el área de un círculo de radio 2 es 4π.

Transcript text: Resuelve las siguientes integrales con el método de integración por sustitución trigonométrica. 1) $\int \frac{2 x}{\sqrt{25-x^{2}}} d x$ 2) $\int \frac{x}{\sqrt{49+x^{2}}} d x$ 3) $\int \frac{x d x}{\sqrt{x^{2}-25}}$ 3. Demuestra que el área de un círculo de radio 2 es $4 \pi$.

Solution

To solve the given integrals using the method of trigonometric substitution, we will follow these steps:

Identify the appropriate trigonometric substitution based on the form of the integrand.
Substitute the trigonometric identity into the integral.
Simplify the integral and solve.
Substitute back to the original variable.

Paso 1: Integral $ \int \frac{2x}{\sqrt{25 - x^2}} \, dx $

Utilizando la sustitución trigonométrica, tenemos que: \[ \int \frac{2x}{\sqrt{25 - x^2}} \, dx = -2\sqrt{25 - x^2} + C_1 \]

Paso 2: Integral $ \int \frac{x}{\sqrt{49 + x^2}} \, dx $

Para esta integral, aplicamos la sustitución trigonométrica adecuada y obtenemos: \[ \int \frac{x}{\sqrt{49 + x^2}} \, dx = \sqrt{x^2 + 49} + C_2 \]

Paso 3: Integral $ \int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 25}} \, dx $

Finalmente, para esta integral, el resultado es: \[ \int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 25}} \, dx = \sqrt{x^2 - 25} + C_3 \]

Respuesta Final

\[ \begin{align*}