To find the limit of the given function as \( x \) approaches \( \frac{1}{2} \), we can directly substitute \( x = \frac{1}{2} \) into the function if it does not result in an indeterminate form. If it does, we may need to simplify the expression or use L'Hôpital's Rule if applicable.
Para encontrar el límite de la función \( \frac{x^3 + 5x}{4x - 6} \) cuando \( x \to \frac{1}{2} \), primero intentamos sustituir \( x = \frac{1}{2} \) directamente en la función. Sin embargo, esto resulta en una forma indeterminada, ya que el denominador se convierte en cero.
Dado que la sustitución directa resulta en una forma indeterminada, podemos aplicar la regla de L'Hôpital, que es aplicable cuando tanto el numerador como el denominador tienden a cero. Derivamos el numerador y el denominador por separado:
- Derivada del numerador: \( \frac{d}{dx}(x^3 + 5x) = 3x^2 + 5 \)
- Derivada del denominador: \( \frac{d}{dx}(4x - 6) = 4 \)
Ahora calculamos el límite de la nueva función derivada:
\[
\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{3x^2 + 5}{4}
\]
Sustituyendo \( x = \frac{1}{2} \) en la función derivada:
\[
\frac{3\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5}{4} = \frac{3 \times \frac{1}{4} + 5}{4} = \frac{\frac{3}{4} + 5}{4} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{20}{4}}{4} = \frac{\frac{23}{4}}{4} = \frac{23}{16} \approx -0.6563
\]
El valor del límite es \(\boxed{-0.6563}\).
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