Questions: ∫ from 1/2 to 3/2 (x^2 + x + 1) dx

Calculamos la antiderivada de la función \(f(x) = x^2 + x + 1\). La antiderivada es: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \]

Evaluamos la antiderivada en los límites superior e inferior: \[ F\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^3}{3} + \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{2} + \frac{3}{2} \] \[ F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{3} + \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2} + \frac{1}{2} \]

Finalmente, restamos los resultados de \(F\left(\frac{3}{2}\right)\) y \(F\left(\frac{1}{2}\right)\) para obtener el valor de la integral definida: \[ \int_{1/2}^{3/2} (x^2 + x + 1) \, dx = F\left(\frac{3}{2}\right) - F\left(\frac{1}{2}\right) \]

\(\boxed{\frac{19}{12}}\)