Questions: Bài 25. Gieo một đồng xu không cân đối đồng chất 20 lần liên tiếp. Biết rằng xác suất xuất hiện mặt ngửa trong mỗi lần tung là không đổi và bằng 2/5. (a) Tìm xác để xuất để có từ 8 đến 10 lần xuất hiện mặt ngửa? (b) Tính số lần xuất hiện mặt sấp có khả năng cao nhất?

Solution Steps

Given:

• Probability of heads \( p = \frac{2}{5} = 0.4 \)
• Probability of tails \( q = 1 - p = 0.6 \)

The Bernoulli distribution results are:

• Probability of success (heads): \( P(X = 1) = 0.4 \)
• Probability of failure (tails): \( P(X = 0) = 0.6 \)
• Mean: \( \mu = p = 0.4 \)
• Variance: \( \sigma^2 = p \cdot q = 0.24 \)
• Standard Deviation: \( \sigma = \sqrt{pq} = 0.4899 \)

We need to find the probability of getting between 8 and 10 heads in 20 coin tosses.

Using the binomial probability formula: \[ P(X = x) = \binom{n}{x} \cdot p^x \cdot q^{n-x} \]

For \( x = 8 \): \[ P(X = 8) = \binom{20}{8} \cdot 0.4^8 \cdot 0.6^{12} = 0.1797 \]

For \( x = 9 \): \[ P(X = 9) = \binom{20}{9} \cdot 0.4^9 \cdot 0.6^{11} = 0.1597 \]

For \( x = 10 \): \[ P(X = 10) = \binom{20}{10} \cdot 0.4^{10} \cdot 0.6^{10} = 0.1171 \]

Total probability for 8 to 10 heads: \[ P(8 \leq X \leq 10) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = 0.1797 + 0.1597 + 0.1171 = 0.4565 \]

To find the most likely number of tails, we first calculate the mean number of heads.

Using the formulas:

• Mean: \( \mu = n \cdot p = 20 \cdot 0.4 = 8.0 \)
• Variance: \( \sigma^2 = n \cdot p \cdot q = 20 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 4.8 \)
• Standard Deviation: \( \sigma = \sqrt{npq} = 2.1909 \)

The mean number of heads is \( 8.0 \). Therefore, the most likely number of tails is: \[ 20 - 8 = 12 \]

Final Answer