Questions: Crecimiento exponencial: Un modelo exponencial para el número de bacterias en un cultivo se ha duplicado en el instante t está dado por P(t)=P0 e^0.3466 t, donde P0 es la población inicial, t viene dado en horas y k=0,3466 es la constante de crecimiento. a) ¿Cuál es el número de bacterias presentes en el cultivo al cabo de 5 horas? b) Encuentre el tiempo necesario para que el cultivo crezca hasta 20 veces su tamaño inicial. R: a) 5,66 Po, b) t=8,64 h

Para encontrar el número de bacterias presentes en el cultivo al cabo de 5 horas, utilizamos la fórmula del crecimiento exponencial: \[ P(t) = P_{0} e^{0.3466 t} \] Sustituyendo \( t = 5 \): \[ P(5) = P_{0} e^{0.3466 \cdot 5} \] Calculamos el valor de \( P(5) \).

Para determinar el tiempo necesario para que el cultivo crezca hasta 20 veces su tamaño inicial, planteamos la ecuación: \[ 20P_{0} = P_{0} e^{0.3466 t} \] Dividiendo ambos lados por \( P_{0} \) (asumiendo \( P_{0} \neq 0 \)): \[ 20 = e^{0.3466 t} \] Tomamos el logaritmo natural en ambos lados: \[ \ln(20) = 0.3466 t \] Despejamos \( t \): \[ t = \frac{\ln(20)}{0.3466} \] Calculamos el valor de \( t \).

a) \( \boxed{P(5) = P_{0} e^{1.733}} \)
b) \( \boxed{t \approx 16.1} \) horas