Questions: Cuatro vectores se encuentran en el plano xy. El módulo del vector A es de 20 unidades y forma un ángulo de 40° con el eje x. El vector B, tiene magnitud de 15 unidades y forma un ángulo de 30° respecto del eje y negativo. El vector C, tienen 10 unidades de módulo y un triángulo rectángulo de catetos 4 y 3 puede formarse bajo él, tal como se indica en la figura. Un vector D parte en el origen y termina en el punto (-6,-7). Obtener en ángulo entre el vector A y el vector C.

Cuatro vectores se encuentran en el plano xy. El módulo del vector A es de 20 unidades y forma un ángulo de 40° con el eje x. El vector B, tiene magnitud de 15 unidades y forma un ángulo de 30° respecto del eje y negativo. El vector C, tienen 10 unidades de módulo y un triángulo rectángulo de catetos 4 y 3 puede formarse bajo él, tal como se indica en la figura. Un vector D parte en el origen y termina en el punto (-6,-7). Obtener en ángulo entre el vector A y el vector C.
Transcript text: Cuatro vectores se encuentran en el plano xy. El módulo del vector $\vec{A}$ es de 20 unidades y forma un ángulo de $40^{\circ}$ con el eje $x$. El vector $\vec{B}$, tiene magniţud de 15 unidades y forma un ángulo de $30^{\circ}$ respecto del eje y negativo. El vector $\vec{C}$, tienen 10 unídades de módulo y un triángulo rectángulo de catetos 4 y 3 puede formarse bajo él, tal como se indica en la figura. Un vector $\vec{D}$ parte en el origen y termina en el punto ( $-6,-7$ ). Obtener en ángulo entre el vector $\vec{A}$ y $\vec{C}$.
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Solution

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Solution Steps

Step 1: Determine the components of vector A\vec{A}

Vector A\vec{A} has a magnitude of 20 units and forms an angle of 40° with the x-axis. We can find its components using trigonometric functions:

  • Ax=20cos(40)A_x = 20 \cos(40^\circ)
  • Ay=20sin(40)A_y = 20 \sin(40^\circ)
Step 2: Determine the components of vector B\vec{B}

Vector B\vec{B} has a magnitude of 15 units and forms an angle of 30° with the negative x-axis. We can find its components:

  • Bx=15cos(30)B_x = -15 \cos(30^\circ)
  • By=15sin(30)B_y = 15 \sin(30^\circ)
Step 3: Determine the components of vector C\vec{C}

Vector C\vec{C} forms a right triangle with legs of 4 and 3 units. The hypotenuse (magnitude) is 5 units. The components are:

  • Cx=3C_x = -3
  • Cy=4C_y = 4

Final Answer

The components of the vectors are:

  • A=(20cos(40),20sin(40))\vec{A} = (20 \cos(40^\circ), 20 \sin(40^\circ))
  • B=(15cos(30),15sin(30))\vec{B} = (-15 \cos(30^\circ), 15 \sin(30^\circ))
  • C=(3,4)\vec{C} = (-3, 4)

To find the angle between A\vec{A} and C\vec{C}, use the dot product formula: AC=AxCx+AyCy \vec{A} \cdot \vec{C} = A_x C_x + A_y C_y ACcos(θ)=AC |\vec{A}| |\vec{C}| \cos(\theta) = \vec{A} \cdot \vec{C} cos(θ)=ACAC \cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{C}}{|\vec{A}| |\vec{C}|} θ=cos1(ACAC) \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{A} \cdot \vec{C}}{|\vec{A}| |\vec{C}|}\right)

Substitute the values to find the angle θ\theta.

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