Questions: Cuatro vectores se encuentran en el plano xy. El módulo del vector A es de 20 unidades y forma un ángulo de 40° con el eje x. El vector B, tiene magnitud de 15 unidades y forma un ángulo de 30° respecto del eje y negativo. El vector C, tienen 10 unidades de módulo y un triángulo rectángulo de catetos 4 y 3 puede formarse bajo él, tal como se indica en la figura. Un vector D parte en el origen y termina en el punto (-6,-7). Obtener en ángulo entre el vector A y el vector C.

Cuatro vectores se encuentran en el plano xy. El módulo del vector A es de 20 unidades y forma un ángulo de 40° con el eje x. El vector B, tiene magnitud de 15 unidades y forma un ángulo de 30° respecto del eje y negativo. El vector C, tienen 10 unidades de módulo y un triángulo rectángulo de catetos 4 y 3 puede formarse bajo él, tal como se indica en la figura. Un vector D parte en el origen y termina en el punto (-6,-7). Obtener en ángulo entre el vector A y el vector C.

Transcript text: Cuatro vectores se encuentran en el plano xy. El módulo del vector $\vec{A}$ es de 20 unidades y forma un ángulo de $40^{\circ}$ con el eje $x$. El vector $\vec{B}$, tiene magniţud de 15 unidades y forma un ángulo de $30^{\circ}$ respecto del eje y negativo. El vector $\vec{C}$, tienen 10 unídades de módulo y un triángulo rectángulo de catetos 4 y 3 puede formarse bajo él, tal como se indica en la figura. Un vector $\vec{D}$ parte en el origen y termina en el punto ( $-6,-7$ ). Obtener en ángulo entre el vector $\vec{A}$ y $\vec{C}$.

Solution

Solution Steps

Step 1: Determine the components of vector

\vec{A}

Vector $\vec{A}$ has a magnitude of 20 units and forms an angle of 40° with the x-axis. We can find its components using trigonometric functions:

$A_x = 20 \cos(40^\circ)$
$A_y = 20 \sin(40^\circ)$

Step 2: Determine the components of vector

\vec{B}

Vector $\vec{B}$ has a magnitude of 15 units and forms an angle of 30° with the negative x-axis. We can find its components:

$B_x = -15 \cos(30^\circ)$
$B_y = 15 \sin(30^\circ)$

Step 3: Determine the components of vector

\vec{C}

Vector $\vec{C}$ forms a right triangle with legs of 4 and 3 units. The hypotenuse (magnitude) is 5 units. The components are:

$C_x = -3$
$C_y = 4$

Final Answer

The components of the vectors are:

$\vec{A} = (20 \cos(40^\circ), 20 \sin(40^\circ))$
$\vec{B} = (-15 \cos(30^\circ), 15 \sin(30^\circ))$
$\vec{C} = (-3, 4)$

To find the angle between $\vec{A}$ and $\vec{C}$ , use the dot product formula: $\vec{A} \cdot \vec{C} = A_x C_x + A_y C_y$ $|\vec{A}| |\vec{C}| \cos(\theta) = \vec{A} \cdot \vec{C}$ $\cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{C}}{|\vec{A}| |\vec{C}|}$ $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{A} \cdot \vec{C}}{|\vec{A}| |\vec{C}|}\right)$

Substitute the values to find the angle $\theta$ .

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