Questions: Se construirá una caja sin tapa cortando pequeños cuadrados de las esquinas de una lámina de hojalata de 12 por 12 cm y doblando hacia arriba los lados. ¿Qué tan grandes deben ser los cuadrados que se van a cortar para hacer que la caja tenga la máxima capacidad posible? ¿Cuáles son las dimensiones y el volumen de dicha caja?

To maximize the volume of the box, we need to determine the size of the squares to cut from each corner. The volume of the box is a function of the side length of the squares cut out. We will express the volume as a function of this side length, find its derivative, and solve for when the derivative is zero to find the critical points. We will then evaluate these points to find the maximum volume.

La función de volumen de la caja se define como: \[ V(x) = x(12 - 2x)^2 \] donde \( x \) es el tamaño del cuadrado cortado en cada esquina.

Calculamos la derivada de la función de volumen: \[ V'(x) = x(8x - 48) + (12 - 2x)^2 \]

Resolviendo \( V'(x) = 0 \), encontramos los puntos críticos: \[ x = 2 \quad \text{y} \quad x = 6 \] Sin embargo, solo \( x = 2 \) es válido en el intervalo \( (0, 6) \).

Sustituyendo \( x = 2 \) en la función de volumen, obtenemos: \[ V(2) = 128 \]

Las dimensiones de la caja se calculan como: \[ \text{Dimensiones} = (12 - 2 \cdot 2, 12 - 2 \cdot 2, 2) = (8, 8, 2) \]

El tamaño óptimo de los cuadrados a cortar es \( x = 2 \) cm, las dimensiones de la caja son \( 8 \) cm, \( 8 \) cm y \( 2 \) cm, y el volumen máximo es \( 128 \) cm³.

\[ \boxed{x = 2} \]