Questions: Ejercicio 2 de clase: La probabilidad de ganar una beca, para el Canadá es de 0.8 (si se domina inglés y francés), Se presentan 9 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que se ganen la beca: resolver por dos métodos de solución cada caso? 1) ¿Menos de 3 estudiantes? 2) ¿Más de 7 estudiantes? 3) ¿Exactamente 3 estudiantes? 4) ¿Entre 5 y 8 estudiantes? 5) Hallar la esperanza, la varianza y la desviación estándar.

To solve the given probability questions, we will use the binomial distribution, which is appropriate here since we have a fixed number of trials (students), two possible outcomes (winning or not winning the scholarship), and a constant probability of success (0.8).

1. For "less than 3 students" winning the scholarship, we will calculate the cumulative probability for 0, 1, and 2 students winning.
2. For "more than 7 students" winning, we will calculate the cumulative probability for 8 and 9 students winning.
3. For "exactly 3 students" winning, we will calculate the probability for exactly 3 students winning.

Para calcular la probabilidad de que menos de 3 estudiantes ganen la beca, sumamos las probabilidades de que 0, 1 o 2 estudiantes ganen. Esto se expresa como la función de distribución acumulativa (CDF) para \(k = 2\).

\[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = \text{CDF}(2) \]

La probabilidad calculada es \(0.0003139\).

Para calcular la probabilidad de que más de 7 estudiantes ganen la beca, restamos la probabilidad acumulada hasta 7 estudiantes de 1.

\[ P(X > 7) = 1 - P(X \leq 7) = 1 - \text{CDF}(7) \]

La probabilidad calculada es \(0.4362\).

Para calcular la probabilidad de que exactamente 3 estudiantes ganen la beca, utilizamos la función de masa de probabilidad (PMF) para \(k = 3\).

\[ P(X = 3) = \text{PMF}(3) \]

La probabilidad calculada es \(0.002753\).

• La probabilidad de que menos de 3 estudiantes ganen la beca es \(\boxed{0.0003139}\).
• La probabilidad de que más de 7 estudiantes ganen la beca es \(\boxed{0.4362}\).
• La probabilidad de que exactamente 3 estudiantes ganen la beca es \(\boxed{0.002753}\).