Questions: You are asked to estimate the proportion (p) of voters who will support candidate A in the next senate election in your area. How many people should you sample so that p can be estimated with 95% confident and 3% margin of error?

You are asked to estimate the proportion (p) of voters who will support candidate A in the next senate election in your area. How many people should you sample so that p can be estimated with 95% confident and 3% margin of error?

Transcript text: 8. You are asked to estimate the proportion (p) of voters who will support candidate $A$ in the next senate election in your area. How many people should you sample so that $p$ can be estimated with $95 \\%$ confident and $3 \\%$ margin of error?

Solution

Schritt 1: Gegebene Werte und Z-Score bestimmen

Wir haben die folgenden gegebenen Werte:

Konfidenzniveau: $0.95$
Fehlermarge: $0.03$
Geschätzter Anteil: $0.5$

Der Z-Score für ein Konfidenzniveau von $95\%$ ist $1.96$.

Schritt 2: Formel zur Berechnung der Stichprobengröße

Die Formel zur Berechnung der minimalen Stichprobengröße $n$ lautet: \[ n = \frac{(Z^2 \cdot p \cdot (1 - p))}{E^2} \] wobei:

$Z$ der Z-Score ist,
$p$ der geschätzte Anteil ist,
$E$ die Fehlermarge ist.

Schritt 3: Werte in die Formel einsetzen

Setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein: \[ n = \frac{(1.96^2 \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.5))}{0.03^2} \]

Schritt 4: Berechnung durchführen

Berechnen wir den Zähler und den Nenner separat: \[ Zähler = 1.96^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 3.8416 \cdot 0.25 = 0.9604 \] \[ Nenner = 0.03^2 = 0.0009 \] \[ n = \frac{0.9604}{0.0009} \approx 1067.1111 \]

Schritt 5: Aufrunden der Stichprobengröße

Da die Stichprobengröße immer auf die nächste ganze Zahl aufgerundet wird, erhalten wir: \[ n \approx 1068 \]

Endgültige Antwort

\[ \boxed{n = 1068} \]

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