To ensure the function \( f(x) \) is continuous for all real numbers \( x \), the left-hand limit and right-hand limit at the point where the piecewise function changes (i.e., \( |x| = 3 \)) must be equal to the function value at that point. We need to find the values of \( a \) and \( b \) such that the function is continuous at \( x = 3 \) and \( x = -3 \). This involves setting up equations based on the continuity condition and solving for \( a \) and \( b \).
함수 \( f(x) \)가 모든 실수 \( x \)에서 연속이 되기 위해서는, \( |x| = 3 \)에서의 연속성을 확인해야 합니다. 즉, 다음 조건을 만족해야 합니다:
\[
\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = \lim_{x \to 3^+} f(x)
\]
그리고
\[
\lim_{x \to -3^-} f(x) = f(-3) = \lim_{x \to -3^+} f(x)
\]
\( |x| < 3 \)일 때, 함수는 다음과 같습니다:
\[
f(x) = \frac{|x|-3}{|x^2-9|}
\]
여기서 \( x = 3 \)과 \( x = -3 \)에서의 극한을 구합니다.
\( x \to 3^- \)일 때:
\[
f(x) = \frac{x-3}{x^2-9} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x+3}
\]
따라서,
\[
\lim_{x \to 3^-} f(x) = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}
\]
\( x \to 3^+ \)일 때:
\[
f(x) = \frac{x-3}{x^2-9} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x+3}
\]
따라서,
\[
\lim_{x \to 3^+} f(x) = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}
\]
\( |x| \geq 3 \)일 때, \( f(x) = ax + b \)이므로,
\[
f(3) = 3a + b
\]
연속성을 위해서는,
\[
3a + b = \frac{1}{6}
\]
\( x \to -3^- \)일 때:
\[
f(x) = \frac{-x-3}{x^2-9} = \frac{-x-3}{(x+3)(x-3)} = \frac{-1}{x-3}
\]
따라서,
\[
\lim_{x \to -3^-} f(x) = \frac{-1}{-3-3} = \frac{1}{6}
\]
\( x \to -3^+ \)일 때:
\[
f(x) = \frac{-x-3}{x^2-9} = \frac{-x-3}{(x+3)(x-3)} = \frac{-1}{x-3}
\]
따라서,
\[
\lim_{x \to -3^+} f(x) = \frac{-1}{-3-3} = \frac{1}{6}
\]
\( |x| \geq 3 \)일 때, \( f(x) = ax + b \)이므로,
\[
f(-3) = -3a + b
\]
연속성을 위해서는,
\[
-3a + b = \frac{1}{6}
\]
두 식을 연립하여 풉니다:
- \( 3a + b = \frac{1}{6} \)
- \(-3a + b = \frac{1}{6} \)
두 식을 빼면:
\[
6a = 0 \implies a = 0
\]
\( a = 0 \)을 첫 번째 식에 대입하면:
\[
b = \frac{1}{6}
\]
따라서, \( a + b = 0 + \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \).
\[
\boxed{\frac{1}{6}}
\]
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