Questions: El área de la región que se encuentra dentro de la curva r=3 sen(θ) y fuera de la curva r=3+3 cos (θ). Se obtiene al completar el desarrollo de:

Tenemos dos curvas en coordenadas polares: $r = 3\sin(\theta)$ (un círculo) y $r = 3 + 3\cos(\theta)$ (un caracol). Buscamos el área _dentro_ del círculo y _fuera_ del caracol.

Para encontrar los puntos de intersección, igualamos las ecuaciones: $3\sin(\theta) = 3 + 3\cos(\theta)$ $\sin(\theta) = 1 + \cos(\theta)$ Elevando al cuadrado ambos lados: $\sin^2(\theta) = 1 + 2\cos(\theta) + \cos^2(\theta)$ $1 - \cos^2(\theta) = 1 + 2\cos(\theta) + \cos^2(\theta)$ $2\cos^2(\theta) + 2\cos(\theta) = 0$ $2\cos(\theta)(\cos(\theta) + 1) = 0$ Esto nos da $\cos(\theta) = 0$ o $\cos(\theta) = -1$. Las soluciones son $\theta = \pi/2$ y $\theta = \pi$. Sustituyendo en $r = 3\sin(\theta)$, obtenemos los puntos $(3, \pi/2)$ y $(0, \pi)$.

El área se calcula con la integral:

$A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} [r_1^2(\theta) - r_2^2(\theta)] d\theta$

Donde $r_1$ es el radio del círculo ($3\sin(\theta)$) y $r_2$ es el radio del caracol ($3+3\cos(\theta)$). El ángulo $\alpha$ va desde donde empieza la región de interés hasta donde termina $\beta$. Observando la gráfica, vemos que el círculo empieza a estar "fuera" del caracol a partir de $\theta = 0$ hasta $\theta = \pi/2$.

Por lo tanto, la integral queda: $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} [(3\sin(\theta))^2 - (3+3\cos(\theta))^2] d\theta$

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} [(3\sin(\theta))^2 - (3+3\cos(\theta))^2] d\theta$