O volume de um sólido de revolução gerado pela rot

Questions: O volume de um sólido de revolução gerado pela rotação de uma função em torno do eixo das ordenadas será calculado de maneira análoga ao volume gerado pela rotação em torno do eixo das abscissas. No primeiro caso, usamos: V = ∫(a)^(b) π(f(x))² dx No segundo caso, se y = f(x), precisamos em primeiro lugar encontrar x = g(y), e com isso adaptar a expressão para o cálculo do volume para essa função. Assumindo os conteúdos da unidade e o texto base, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da função x = y, no intervalo 0 < y < 4, em torno do eixo das ordenadas e assinale a alternativa que expressa esse resultado. Alternativas: a) V = 32 π unidades de volume b) V = 16π/3 unidades de volume c) V = 8 π unidades de volume d) V = 16 π unidades de volume e) V = 64π/3 unidades de volume

Transcript text: 2) O volume de um sólido de revoluçāo gerado pela rotaçāo de uma funçāo em torno do eixo das ordenadas será calculado de maneira análoga ao volume gerado pela rotaçāo em torno do eixo das abscissas. No primeiro caso, usamos: \[ V=\int_{a}^{b} \pi(f(x))^{2} d x \] No segundo caso, se $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$, precisamos em primeiro lugar encontrar $\mathrm{x}=\mathrm{g}(\mathrm{y})$, e com isso adaptar a expressāo para o cálculo do volume para essa funçāo. Assumindo os conteúdos da unidade e o texto base, calcule o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotaçāo da funçāo $x=y$, no intervalo $0

Solution

Solution Steps

To find the volume of the solid of revolution generated by rotating the function $ x = y $ around the y-axis from $ y = 0 $ to $ y = 4 $, we need to use the formula for the volume of a solid of revolution around the y-axis. The formula is:

\[ V = \int_{c}^{d} \pi (g(y))^2 \, dy \]

Here, $ g(y) = y $ and the limits of integration are from $ y = 0 $ to $ y = 4 $.

Solution Approach

Identify the function $ g(y) = y $.
Set up the integral for the volume using the formula for rotation around the y-axis.
Evaluate the integral from $ y = 0 $ to $ y = 4 $.

Step 1: Identify the Function

The function given is $ x = y $. We will rotate this function around the y-axis.

Step 2: Set Up the Integral

To find the volume $ V $ of the solid of revolution, we use the formula for rotation around the y-axis:

\[ V = \int_{0}^{4} \pi (g(y))^2 \, dy \]

Here, $ g(y) = y $.

Step 3: Evaluate the Integral

Substituting $ g(y) $ into the integral, we have:

\[ V = \int_{0}^{4} \pi (y)^2 \, dy \]

Calculating the integral:

\[ V = \pi \int_{0}^{4} y^2 \, dy = \pi \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^3}{3} - 0 \right) = \pi \left( \frac{64}{3} \right) \]

Thus, the volume is:

\[ V = \frac{64\pi}{3} \]