To solve the given linear programming problem using the two-phase method, we first need to convert the inequalities into equalities by introducing slack, surplus, and artificial variables as necessary. The first constraint is a "greater than or equal to" inequality, so we introduce a surplus variable and an artificial variable. The second constraint is a "less than or equal to" inequality, so we introduce a slack variable. In Phase 1, we focus on minimizing the sum of artificial variables to find a feasible solution. In Phase 2, we optimize the original objective function using the feasible solution obtained from Phase 1.
El problema de programación lineal se puede formular como sigue:
Maximizar \( z = x_1 + 2x_2 \)
Sujeto a:
\[
\begin{align_}
2x_1 + 4x_2 & \geq 12 \quad (1) \\
4x_1 + 5x_2 & \leq 20 \quad (2) \\
x_1, x_2 & \geq 0
\end{align_}
\]
Para aplicar el método de dos fases, convertimos las desigualdades en igualdades. Introducimos una variable de exceso \( s_1 \) y una variable artificial \( a_1 \) para la primera restricción, y una variable de holgura \( s_2 \) para la segunda restricción:
\[
\begin{align_}
2x_1 + 4x_2 - s_1 + a_1 & = 12 \quad (1) \\
4x_1 + 5x_2 + s_2 & = 20 \quad (2) \\
x_1, x_2, s_1, s_2, a_1 & \geq 0
\end{align_}
\]
En la Fase 1, minimizamos la suma de las variables artificiales. La función objetivo se convierte en:
Minimizar \( w = a_1 \)
Sujeta a las restricciones anteriores. Al resolver, encontramos que la solución óptima es:
\[
x_1 = 0, \quad x_2 = 4
\]
Con la solución factible de la Fase 1, pasamos a la Fase 2, donde optimizamos la función objetivo original:
Maximizar \( z = x_1 + 2x_2 \)
Sujeta a las mismas restricciones. La solución óptima encontrada es:
\[
z = 8
\]
La solución óptima es:
\[
\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = 4, \quad z = 8}
\]
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