Questions: Calcula ∫ (2x) / (x^2 + 1) dx

Transcript text: Calcula $\int \frac{2 x}{x^{2}+1} d x$

Solution

Paso 1: Identificar la integral

La integral dada es: \[ \int \frac{2x}{x^{2}+1} \, dx \]

Paso 2: Realizar una sustitución

Sea $ u = x^{2} + 1 $. Entonces, la derivada de $ u $ con respecto a $ x $ es: \[ \frac{du}{dx} = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2x \, dx \]

Paso 3: Reescribir la integral en términos de $ u $

Sustituyendo $ u $ y $ du $ en la integral original: \[ \int \frac{2x}{x^{2}+1} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du \]

Paso 4: Resolver la integral

La integral de $ \frac{1}{u} $ con respecto a $ u $ es: \[ \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]

Paso 5: Revertir la sustitución

Sustituyendo $ u = x^{2} + 1 $ de nuevo en la expresión: \[ \ln|u| + C = \ln(x^{2} + 1) + C \]

Paso 6: Seleccionar la respuesta correcta

La respuesta correcta es: \[ \boxed{\ln(x^{2} + 1) + C} \]

Respuesta Final

$\boxed{\ln(x^{2} + 1) + C}$

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