Questions: 次のような三角形 ABC において，指定されたものを求めよ。（1）a=3, A=150度のとき外接円の半径 R （2）b=4√3 ，外接円の半径 R=4 のとき B （3）a=√2, A=45度, B=120度のとき b

Transcript text: 次のような $\triangle \mathrm{ABC}$ において，指定されたものを求めよ。（1）$a=3, A=150^{\circ}$ のとき外接円の半径 $R$ （2）$b=4 \sqrt{3}$ ，外接円の半径 $R=4$ のとき $B$ （3）$a=\sqrt{2}, A=45^{\circ}, B=120^{\circ}$ のとき $b$

Solution

ステップ 1：正弦定理を用解く

問題(2)は、三角形の辺の長さと外接円の半径、および角度の関係を表す正弦定理を用いて解きます。正弦定理は以下のように表されます。

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $

ここで、$a, b, c$ は三角形の辺の長さ、$A, B, C$ はそれぞれに対応する角度、$R$ は外接円の半径です。

この問題では、$b = 4\sqrt{3}$ と $R = 4$ が与えられています。求めるのは角度 $B$ です。正弦定理より、

$ \frac{b}{\sin B} = 2R $

となります。ここに与えられた値を代入すると、

$ \frac{4\sqrt{3}}{\sin B} = 2 \times 4 $

$ \frac{4\sqrt{3}}{\sin B} = 8 $

$ \sin B = \frac{4\sqrt{3}}{8} $

$ \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} $

となります。

ステップ 2：角度Bを求める

$ \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} $ から、$B$ の値を求めます。$\sin B$ が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる角度 $B$ は、$60^\circ$ と $120^\circ$ です。したがって、$B = 60^\circ$ または $120^\circ$ となります。

ステップ 3：問題(3)を解く

問題(3)も正弦定理を用いて解きます。与えられた条件は $a = \sqrt{2}$, $A = 45^\circ$, $B = 120^\circ$ です。求めるのは $b$ です。正弦定理より、

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $

となります。ここに与えられた値を代入すると、

$ \frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 120^\circ} $

$ \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $

$ 2 = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $

$ b = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ b = \sqrt{3} $

となります。

最終解答

(2) $B = 60^\circ, 120^\circ$ \$\boxed{B = 60^\circ, 120^\circ}\$