Questions: 다음 급수의 수렴 여부를 판정하시오. (2) ∑(n=2 to ∞) ln(1+1/n)

Transcript text: 다음 급수의 수렴 여부를 판정하시오. (2) $\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$

Solution

Solution Steps

To determine the convergence of the series $\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$, we can use the properties of logarithms and known convergence tests. Specifically, we can use the fact that $\ln(1 + x) \approx x$ for small $x$, and then compare the series to a known convergent or divergent series.

Step 1: 급수의 일반항 확인

주어진 급수는 $\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$입니다. 일반항은 $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$입니다.

Step 2: 일반항의 극한 계산

$\ln(1 + x)$의 성질에 따르면, $x$가 0에 가까워질 때 $\ln(1 + x) \approx x$입니다. 따라서 $n$이 무한대로 갈 때, \[ \lim_{n \to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \ln \left(1 + 0\right) = 0 \] 이므로 일반항의 극한은 0입니다.

Step 3: 급수의 수렴 여부 판단

일반항이 0으로 수렴하지만, 이는 급수의 수렴을 보장하지 않습니다. 따라서 비교 테스트를 사용해야 합니다. $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$는 $\frac{1}{n}$에 비례하므로, $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$과 비교할 수 있습니다. $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$는 발산하는 조화급수입니다. 따라서 주어진 급수도 발산합니다.