Questions: La Tabla contiene cuatro variables numéricas: - X1 = longitud del sépalo, - X2 = anchura del sépalo, - X3 = longitud del pétalo, - X4 = anchura del pétalo, medidas sobre tres especies de flores del género Iris: Iris setosa, Iris versicolor e Iris virginica. (a) Suponiendo normalidad multivariante, constrúyanse las regiones confidenciales para los individuos medios de cada grupo.

Para cada variable, se calcularon las medias de las especies de Iris. Los resultados son los siguientes:

• Para \(X_1\) (longitud del sépalo): \[ \mu_{X_1} = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} = \frac{24.3}{5} = 4.86 \]

• Para \(X_2\) (anchura del sépalo): \[ \mu_{X_2} = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} = \frac{16.4}{5} = 3.28 \]

• Para \(X_3\) (longitud del pétalo): \[ \mu_{X_3} = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} = \frac{7.0}{5} = 1.4 \]

• Para \(X_4\) (anchura del pétalo): \[ \mu_{X_4} = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} = \frac{1.0}{5} = 0.2 \]

Se calcularon los coeficientes de correlación entre las variables. Los resultados son los siguientes:

1. Para \(X_1\) y \(X_2\): \[ \text{Cov}(X,Y) = 0.04, \quad \sigma_X = 0.21, \quad \sigma_Y = 0.21 \] \[ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{0.04}{0.21 \cdot 0.21} = 1.0 \]

2. Para \(X_1\) y \(X_3\): \[ \text{Cov}(X,Y) = 0.04, \quad \sigma_X = 0.21, \quad \sigma_Y = 0.26 \] \[ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{0.04}{0.21 \cdot 0.26} \approx 0.68 \]

3. Para \(X_1\) y \(X_4\): \[ \text{Cov}(X,Y) = -0.0, \quad \sigma_X = 0.21, \quad \sigma_Y = 0.07 \] \[ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{-0.0}{0.21 \cdot 0.07} = -0.17 \]

4. Para \(X_2\) y \(X_3\): \[ \text{Cov}(X,Y) = 0.0, \quad \sigma_X = 0.21, \quad \sigma_Y = 0.0 \] \[ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{0.0}{0.21 \cdot 0.0} = \text{nan} \]

5. Para \(X_2\) y \(X_4\): \[ \text{Cov}(X,Y) = 0.07, \quad \sigma_X = 0.26, \quad \sigma_Y = 0.26 \] \[ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{0.07}{0.26 \cdot 0.26} = 1.0 \]

6. Para \(X_3\) y \(X_4\): \[ \text{Cov}(X,Y) = -0.0, \quad \sigma_X = 0.26, \quad \sigma_Y = 0.07 \] \[ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{-0.0}{0.26 \cdot 0.07} = -0.14 \]

7. Para \(X_4\) y \(X_1\): \[ \text{Cov}(X,Y) = 0.0, \quad \sigma_X = 0.26, \quad \sigma_Y = 0.0 \] \[ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{0.0}{0.26 \cdot 0.0} = \text{nan} \]

8. Para \(X_4\) y \(X_2\): \[ \text{Cov}(X,Y) = 0.0, \quad \sigma_X = 0.07, \quad \sigma_Y = 0.07 \] \[ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{0.0}{0.07 \cdot 0.07} = 1.0 \]

• Medias: \[ \mu_{X_1} = 4.86, \quad \mu_{X_2} = 3.28, \quad \mu_{X_3} = 1.4, \quad \mu_{X_4} = 0.2 \]

• Coeficientes de correlación: \[ r_{X_1,X_2} = 1.0, \quad r_{X_1,X_3} \approx 0.68, \quad r_{X_1,X_4} = -0.17 \] \[ r_{X_2,X_3} = \text{nan}, \quad r_{X_2,X_4} = 1.0, \quad r_{X_3,X_4} = -0.14 \]

\[ \boxed{\text{Medias: } \mu_{X_1} = 4.86, \mu_{X_2} = 3.28, \mu_{X_3} = 1.4, \mu_{X_4} = 0.2} \text{ y Coeficientes de correlación: } r_{X_1,X_2} = 1.0, r_{X_1,X_3} \approx 0.68, r_{X_1,X_4} = -0.17} \]