Questions: Altas de hospital Para un grupo de personas hospitalizadas, suponga que la razón de altas está dada por f(t) = 81 x 10^6 / (300+t)^4, donde f(t) es la proporción del grupo dado de alta por día al término de t días. ¿Qué proporción ha sido dada de alta al final de 700 días?

La función dada es: \[ f(t) = \frac{81 \times 10^{6}}{(300 + t)^{4}}, \] donde \( f(t) \) representa la proporción del grupo dado de alta por día al término de \( t \) días.

Para encontrar la proporción acumulada de altas al final de 700 días, necesitamos integrar la función \( f(t) \) desde \( t = 0 \) hasta \( t = 700 \): \[ \text{Proporción acumulada} = \int_{0}^{700} \frac{81 \times 10^{6}}{(300 + t)^{4}} \, dt. \]

La integral se resuelve de la siguiente manera: \[ \int \frac{81 \times 10^{6}}{(300 + t)^{4}} \, dt = 81 \times 10^{6} \int (300 + t)^{-4} \, dt. \] Usando la regla de integración para potencias: \[ \int (300 + t)^{-4} \, dt = \frac{(300 + t)^{-3}}{-3} + C. \] Por lo tanto: \[ 81 \times 10^{6} \cdot \left[ \frac{(300 + t)^{-3}}{-3} \right]_{0}^{700}. \]

Evaluamos la expresión en los límites \( t = 0 \) y \( t = 700 \): \[ 81 \times 10^{6} \cdot \left[ \frac{(300 + 700)^{-3}}{-3} - \frac{(300 + 0)^{-3}}{-3} \right]. \] Simplificando: \[ 81 \times 10^{6} \cdot \left[ \frac{1000^{-3}}{-3} - \frac{300^{-3}}{-3} \right]. \]

Calculamos los valores numéricos: \[ 1000^{-3} = \frac{1}{1000^{3}} = \frac{1}{10^{9}}, \] \[ 300^{-3} = \frac{1}{300^{3}} = \frac{1}{27 \times 10^{6}}. \] Sustituyendo: \[ 81 \times 10^{6} \cdot \left[ \frac{1}{-3 \times 10^{9}} - \frac{1}{-3 \times 27 \times 10^{6}} \right]. \]

Simplificamos la expresión dentro de los corchetes: \[ \frac{1}{-3 \times 10^{9}} - \frac{1}{-3 \times 27 \times 10^{6}} = -\frac{1}{3 \times 10^{9}} + \frac{1}{81 \times 10^{6}}. \] Convertimos a un denominador común: \[ -\frac{1}{3 \times 10^{9}} + \frac{1}{81 \times 10^{6}} = -\frac{1}{3 \times 10^{9}} + \frac{10^{3}}{81 \times 10^{9}} = \frac{-1 + \frac{10^{3}}{81}}{3 \times 10^{9}}. \]

Calculamos el numerador: \[ -1 + \frac{1000}{81} = -1 + 12.3457 \approx 11.3457. \] Por lo tanto: \[ \frac{11.3457}{3 \times 10^{9}} \approx 3.7819 \times 10^{-9}. \] Finalmente, multiplicamos por \( 81 \times 10^{6} \): \[ 81 \times 10^{6} \times 3.7819 \times 10^{-9} \approx 0.3063. \]

La proporción acumulada de altas al final de 700 días es aproximadamente \( 0.3063 \), lo que significa que alrededor del 30.63% del grupo ha sido dado de alta.

\(\boxed{0.3063}\)