To determine the domain and range of the given functions, we need to analyze the expressions inside the functions to identify any restrictions on the input values (domain) and the possible output values (range).
(a) For the function \( f(x) = \sqrt{\frac{x+2}{3-x}} \), the expression inside the square root must be non-negative, and the denominator cannot be zero. This gives us the conditions for the domain. The range will be determined by the possible values of the square root expression.
(b) For the function \( f(x) = \frac{1}{|1-x|} \), the denominator cannot be zero, which gives us the condition for the domain. The range will be determined by the possible values of the reciprocal function.
Para encontrar el dominio de la función \( f(x) = \sqrt{\frac{x+2}{3-x}} \), debemos asegurarnos de que la expresión dentro de la raíz cuadrada sea no negativa y que el denominador no sea cero. Esto nos lleva a resolver la desigualdad:
\[
\frac{x+2}{3-x} \geq 0
\]
y la condición \( 3-x \neq 0 \).
La solución de estas condiciones es el intervalo \( x \in (-2, 3) \), excluyendo el punto \( x = 3 \).
Dado que la función es una raíz cuadrada, el recorrido de \( f(x) \) es el conjunto de valores no negativos que puede tomar la raíz cuadrada. Por lo tanto, el recorrido es:
\[
[0, \infty)
\]
Para encontrar el dominio de la función \( f(x) = \frac{1}{|1-x|} \), debemos asegurarnos de que el denominador no sea cero. Esto significa que:
\[
|1-x| \neq 0 \implies x \neq 1
\]
Por lo tanto, el dominio es:
\[
(-\infty, 1) \cup (1, \infty)
\]
Dado que la función es el recíproco de un valor absoluto, el recorrido de \( f(x) \) es el conjunto de valores positivos que puede tomar la función. Por lo tanto, el recorrido es:
\[
(0, \infty)
\]
Para la función \( f(x) = \sqrt{\frac{x+2}{3-x}} \):
- Dominio: \(\boxed{(-2, 3)}\)
- Recorrido: \(\boxed{[0, \infty)}\)
Para la función \( f(x) = \frac{1}{|1-x|} \):
- Dominio: \(\boxed{(-\infty, 1) \cup (1, \infty)}\)
- Recorrido: \(\boxed{(0, \infty)}\)
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