To find the constants \( m \) and \( b \) such that the line \( y = mx + b \) is tangent to the graph of \( f(x) = x - x^3 \) at the point \((-1, 0)\), we need to ensure two conditions: the line passes through the point \((-1, 0)\) and the slope of the line at this point is equal to the derivative of \( f(x) \) at \( x = -1 \).
- Calculate the derivative of \( f(x) \) to find the slope of the tangent line at \( x = -1 \).
- Use the point-slope form of the line equation to find \( m \) and \( b \) such that the line passes through \((-1, 0)\) and has the same slope as the derivative at that point.
Dado que la recta es tangente a la gráfica de \( f(x) = x - x^3 \) en el punto \((-1, 0)\), primero evaluamos \( f(x) \) en \( x = -1 \):
\[
f(-1) = (-1) - (-1)^3 = -1 + 1 = 0
\]
Esto confirma que el punto \((-1, 0)\) está en la gráfica de \( f(x) \).
La pendiente de la recta tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. Calculamos la derivada de \( f(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x - x^3) = 1 - 3x^2
\]
Evaluamos la derivada en \( x = -1 \) para encontrar la pendiente de la tangente:
\[
f'(-1) = 1 - 3(-1)^2 = 1 - 3 = -2
\]
Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es \( m = -2 \).
La ecuación de la recta tangente en el punto \((-1, 0)\) con pendiente \( m = -2 \) es:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Sustituyendo \( m = -2 \), \( x_1 = -1 \), y \( y_1 = 0 \):
\[
y - 0 = -2(x + 1)
\]
Simplificando:
\[
y = -2x - 2
\]
Por lo tanto, \( b = -2 \).
Comparando con las opciones dadas:
- \( m = -2 \) y \( b = -2 \) coincide con la opción \( m = -2; b = -2 \).
\(\boxed{m = -2; b = -2}\)
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