Questions: 1.6 Entrada a un Punto de Venta de Insumos Agrícolas En un punto de venta de insumos agrícolas (semillas, fertilizantes, herramientas, etc.), llegan 4 agricultores por minuto para realizar sus compras. a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen al menos 5 personas en un periodo de 2 minutos? b) ¿Cuál es el número esperado de personas que llegan en 1 hora?

Para calcular la probabilidad de que lleguen al menos 5 agricultores en un periodo de 2 minutos, utilizamos la distribución de Poisson. La tasa de llegada es de 4 agricultores por minuto, por lo que en 2 minutos, el valor de \( \lambda \) es:

\[ \lambda = 4 \times 2 = 8 \]

La probabilidad de que lleguen menos de 5 agricultores se calcula como la suma de las probabilidades de que lleguen 0, 1, 2, 3 y 4 agricultores:

\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

Calculando cada uno:

• \( P(X = 0) = \frac{8^0 e^{-8}}{0!} \approx 0.0003 \)
• \( P(X = 1) = \frac{8^1 e^{-8}}{1!} \approx 0.0027 \)
• \( P(X = 2) = \frac{8^2 e^{-8}}{2!} \approx 0.0107 \)
• \( P(X = 3) = \frac{8^3 e^{-8}}{3!} \approx 0.0286 \)
• \( P(X = 4) = \frac{8^4 e^{-8}}{4!} \approx 0.0573 \)

Sumando estas probabilidades:

\[ P(X < 5) \approx 0.0003 + 0.0027 + 0.0107 + 0.0286 + 0.0573 \approx 0.0996 \]

Por lo tanto, la probabilidad de que lleguen al menos 5 agricultores es:

\[ P(X \geq 5) = 1 - P(X < 5) \approx 1 - 0.0996 = 0.9004 \]

El número esperado de agricultores que llegan en 1 hora se calcula multiplicando la tasa de llegada por el tiempo en minutos:

\[ \text{Llegadas esperadas en 1 hora} = 4 \, \text{agricultores/minuto} \times 60 \, \text{minutos} = 240 \, \text{agricultores} \]

La probabilidad de que lleguen al menos 5 agricultores en 2 minutos es aproximadamente \( 0.9004 \) y el número esperado de llegadas en 1 hora es \( 240 \).

\[ \boxed{P(X \geq 5) \approx 0.9004} \] \[ \boxed{\text{Llegadas esperadas en 1 hora} = 240} \]