Questions: P3. (20 puntos) Dada la función de ingreso conjunta I(x, y)=x(300-5 x+10 y)+y(200+7 x-5 y) , en donde I se mide en miles de dólares y x representa la cantidad de bicicletas que se venden e y representa la cantidad de scooter que se venden en la sucursal. a) (6 puntos) Determine las funciones de Ingresos Marginales con respecto a x y y b) (10 puntos) Interprete cada una de ellas cuando x=10 y y=20. c) (4 puntos) Analice qué es lo que le conviene a la empresa.

a) To determine the marginal revenue functions with respect to \( x \) and \( y \), we need to take the partial derivatives of the given revenue function \( I(x, y) \) with respect to \( x \) and \( y \).

b) To interpret the marginal revenues when \( x = 10 \) and \( y = 20 \), we substitute these values into the marginal revenue functions obtained in part (a).

c) To analyze what is beneficial for the company, we need to compare the marginal revenues and understand their implications on the sales of bicycles and scooters.

La función de ingreso conjunta está dada por:

\[ I(x, y) = x(-5x + 10y + 300) + y(7x - 5y + 200) \]

Calculamos las funciones de ingresos marginales tomando las derivadas parciales:

• Ingreso marginal con respecto a \( x \):

\[ MR_x = \frac{\partial I}{\partial x} = -10x + 17y + 300 \]

• Ingreso marginal con respecto a \( y \):

\[ MR_y = \frac{\partial I}{\partial y} = 17x - 10y + 200 \]

Evaluamos las funciones de ingresos marginales en el punto \( (x, y) = (10, 20) \):

• Para \( MR_x \):

\[ MR_x(10, 20) = -10(10) + 17(20) + 300 = 540 \]

• Para \( MR_y \):

\[ MR_y(10, 20) = 17(10) - 10(20) + 200 = 170 \]

Los ingresos marginales calculados indican lo siguiente:

• \( MR_x = 540 \): Esto significa que al vender una bicicleta adicional, el ingreso total aumentará en 540 mil dólares.
• \( MR_y = 170 \): Esto significa que al vender un scooter adicional, el ingreso total aumentará en 170 mil dólares.

Para la empresa, es beneficioso maximizar los ingresos. Dado que \( MR_x > MR_y \) en el punto evaluado, la empresa debería enfocarse en aumentar la venta de bicicletas en lugar de scooters, ya que el ingreso marginal por bicicleta es significativamente mayor.

\[ \boxed{MR_x = 540, \quad MR_y = 170} \]