Questions: 전체집합 U=x x 는 10 이하의 자연수 의 두 부 분집합 A=x x 는 홀수 , B=x x 는 소수 에 대하여 A ∪ X=B ∪ X 를 만족시키는 U 의 부분집합 X 의 개수는? (1) 2^4 (2) 2^5 (3) 2^6 (4) 2^7 (5) 2^8

Transcript text: 16. 전체집합 $U=\{x \mid x$ 는 10 이하의 자연수 $\}$ 의 두 부 분집합 $A=\{x \mid x$ 는 홀수 $\}, B=\{x \mid x$ 는 소수 $\}$ 에 대하 여 $A \cup X=B \cup X$ 를 만족시키는 $U$ 의 부분집합 $X$ 의 개수는? (1) $2^{4}$ (2) $2^{5}$ (3) $2^{6}$ (4) $2^{7}$ (5) $2^{8}$

Solution

Solution Steps

To solve this problem, we need to determine the number of subsets $ X $ of the universal set $ U $ such that $ A \cup X = B \cup X $.

Identify the elements in sets $ A $ and $ B $.
Determine the elements that are in $ A $ but not in $ B $ and vice versa.
Recognize that for $ A \cup X $ to equal $ B \cup X $, $ X $ must contain all elements that are in $ A $ but not in $ B $ and all elements that are in $ B $ but not in $ A $.
Calculate the number of subsets $ X $ that satisfy this condition.

Step 1: 전체집합 $ U $ 정의

전체집합 $ U $는 10 이하의 자연수로 구성됩니다. \[ U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \]

Step 2: 부분집합 $ A $와 $ B $ 정의

부분집합 $ A $는 홀수로 구성되고, 부분집합 $ B $는 소수로 구성됩니다. \[ A = \{1, 3, 5, 7, 9\} \] \[ B = \{2, 3, 5, 7\} \]

Step 3: $ A $와 $ B $의 차집합 계산

$ A $에 있지만 $ B $에 없는 원소와 $ B $에 있지만 $ A $에 없는 원소를 구합니다. \[ A \setminus B = \{1, 9\} \] \[ B \setminus A = \{2\} \]

Step 4: $ X $에 반드시 포함되어야 하는 원소 집합 계산

$ A \cup X = B \cup X $를 만족시키기 위해 $ X $에 반드시 포함되어야 하는 원소는 $ A \setminus B $와 $ B \setminus A $의 합집합입니다. \[ \text{must\_be\_in\_X} = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{1, 2, 9\} \]

Step 5: 남은 원소 집합 계산

$ U $에서 $ \text{must\_be\_in\_X} $를 제외한 원소 집합을 구합니다. \[ \text{remaining\_elements} = U \setminus \text{must\_be\_in\_X} = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\} \]

Step 6: 가능한 부분집합의 개수 계산

남은 원소 집합의 모든 부분집합의 개수를 계산합니다. \[ \text{num\_subsets} = 2^{|\text{remaining\_elements}|} = 2^7 = 128 \]