Questions: Sea (an=n cdot operatornamesen(1 / n)) La sucesión (leftanright) diverge Seleccione una: Verdadero Falso

Transcript text: Sea $a_{n}=n \cdot \operatorname{sen}(1 / n)$ La sucesión $\left\{a_{n}\right\}$ diverge Seleccione una: Verdadero Falso

Solution

To determine whether the sequence $ a_n = n \cdot \sin(1/n) $ diverges, we need to analyze its behavior as $ n $ approaches infinity. We can use the fact that for small values of $ x $, $ \sin(x) \approx x $. Therefore, as $ n $ becomes very large, $ \sin(1/n) \approx 1/n $, and we can approximate $ a_n $.

Solution Approach

Recognize that for large $ n $, $ \sin(1/n) \approx 1/n $.
Substitute $ \sin(1/n) $ with $ 1/n $ in the expression for $ a_n $.
Simplify the expression to see if it converges to a finite value or diverges.

Paso 1: Análisis de la sucesión

Consideramos la sucesión $ a_n = n \cdot \sin(1/n) $. Para $ n $ grande, podemos usar la aproximación $ \sin(x) \approx x $ cuando $ x $ es pequeño. Por lo tanto, para $ n $ grande, tenemos:

\[ \sin(1/n) \approx \frac{1}{n} \]

Paso 2: Sustitución en la expresión

Sustituyendo esta aproximación en la expresión de $ a_n $:

\[ a_n \approx n \cdot \frac{1}{n} = 1 \]

Paso 3: Límite de la sucesión

Ahora, evaluamos el límite de $ a_n $ cuando $ n $ tiende a infinito:

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n \cdot \sin(1/n) = 1 \]

Dado que el límite es un valor finito, concluimos que la sucesión no diverge.

Respuesta Final

La afirmación de que la sucesión $ \{a_n\} $ diverge es falsa. Por lo tanto, la respuesta es:

$\boxed{\text{Falso}}$

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